19.4 — Глава V, §19. Непрерывность функций19.4 — Chapter V, §19. Continuity of Functions
До сих пор непрерывность каждой конкретной функции приходилось бы проверять вручную по определению 19.1 — как в Примере 19.1 для x². Здесь, ровно как арифметика пределов 17.3 избавила от повторных ε-δ-доказательств, доказывается общий результат: сумма, произведение, частное и композиция непрерывных функций снова непрерывны, а значит все элементарные функции (14.6) непрерывны везде, где определены — без разбора каждой по отдельности.Up to now, the continuity of each specific function would have to be checked by hand via the definition in 19.1 — as in Example 19.1 for x². Here, just as the arithmetic of limits in 17.3 eliminated the need for repeated ε-δ proofs, a general result is proved: the sum, product, quotient, and composition of continuous functions are again continuous, and hence all elementary functions (14.6) are continuous wherever they're defined — without examining each one separately.
Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀ (19.1), то f(x)±g(x), f(x)·g(x) непрерывны в x₀, а f(x)/g(x) непрерывна в x₀ при условии g(x₀)≠0.If f(x) and g(x) are continuous at a point x₀ (19.1), then f(x)±g(x), f(x)·g(x) are continuous at x₀, and f(x)/g(x) is continuous at x₀ provided g(x₀)≠0.
Доказательство — прямое применение теорем 17.3 к пределам: lim_{x→x₀}(f(x)+g(x)) = lim f(x)+lim g(x) = f(x₀)+g(x₀), где первое равенство — теорема 17.3, а второе — непрерывность каждого слагаемого по отдельности (19.1). Условие g(x₀)≠0 для частного — то же самое ограничение, что уже встречалось в теоремах 17.3: без него f(x₀)/g(x₀) попросту не определено.The proof is a direct application of the theorems in 17.3 to limits: lim_{x→x₀}(f(x)+g(x)) = lim f(x)+lim g(x) = f(x₀)+g(x₀), where the first equality is the theorem in 17.3, and the second is the continuity of each term separately (19.1). The condition g(x₀)≠0 for the quotient is the same restriction already seen in the theorems in 17.3: without it, f(x₀)/g(x₀) simply isn't defined.
Если φ(x) непрерывна в точке x₀, а f(u) непрерывна в точке u₀=φ(x₀), то сложная функция f(φ(x)) (14.5) непрерывна в точке x₀.If φ(x) is continuous at a point x₀, and f(u) is continuous at the point u₀=φ(x₀), then the composite function f(φ(x)) (14.5) is continuous at the point x₀.
Эта теорема — то, что молчаливо использовалось в 18.2 при переходе lim ln[(1+x)^(1/x)] = ln[lim(1+x)^(1/x)]: предел можно было «внести» под знак логарифма именно потому, что логарифм непрерывен, а внесение предела под знак непрерывной функции — законная операция. Композиция непрерывных функций непрерывна ровно потому, что композиция пределов «работает так, как ожидается»: если x подходит к x₀, то φ(x) подходит к φ(x₀) (непрерывность φ), а тогда f(φ(x)) подходит к f(φ(x₀)) (непрерывность f в этой новой точке) — цепочка сохраняется на каждом шаге.This theorem is what was used silently in 18.2 in the step lim \ln[(1+x)^{1/x}] = \ln[lim(1+x)^{1/x}]: the limit could be "carried inside" the logarithm precisely because the logarithm is continuous, and carrying a limit inside a continuous function is a valid operation. The composition of continuous functions is continuous exactly because the composition of limits "works as expected": if x approaches x₀, then φ(x) approaches φ(x₀) (the continuity of φ), and then f(φ(x)) approaches f(φ(x₀)) (the continuity of f at that new point) — the chain holds at every step.
Все основные элементарные функции (14.6: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические) непрерывны в каждой точке своей области определения. Следовательно, любая элементарная функция (14.6: конечная комбинация основных элементарных функций через арифметические операции и композицию) непрерывна везде, где определена.All the basic elementary functions (14.6: power, exponential, logarithmic, trigonometric, inverse trigonometric) are continuous at every point of their domain. Consequently, any elementary function (14.6: a finite combination of the basic elementary functions via arithmetic operations and composition) is continuous wherever it's defined.
Это финальный результат, ради которого выстраивались 19.1–19.4: непрерывность каждой отдельной основной элементарной функции доказывается один раз (например, непрерывность sin x — прямым следствием первого замечательного предела 17.5 и формул суммы синусов), а дальше теорема об арифметике и теорема о композиции автоматически распространяют непрерывность на любую их комбинацию — не нужно отдельно доказывать непрерывность, скажем, e^(sin x)·ln(x²+1): она собрана из непрерывных кирпичиков непрерывными операциями (произведение и композиция), значит непрерывна везде, где определена.This is the final result all of 19.1–19.4 was building toward: the continuity of each individual basic elementary function is proved once (e.g., the continuity of \sin x follows directly from the first remarkable limit in 17.5 and the sine-sum formulas), and then the arithmetic theorem and the composition theorem automatically extend continuity to any combination of them — there's no need to separately prove the continuity of, say, e^{\sin x}·\ln(x²+1): it's assembled from continuous building blocks via continuous operations (product and composition), so it's continuous wherever it's defined.
Представьте, что «непрерывная функция» — это деталь конструктора с гарантией качества: «эта деталь без сколов и трещин». Теоремы этого пункта утверждают, что если взять две такие гарантированные детали и склеить их стандартным клеем (сложение, умножение, деление, вложение одной в другую), результат тоже гарантированно без сколов — не нужно каждый раз проверять склеенную деталь под микроскопом заново, достаточно знать, что исходные детали были качественными, а способ склейки — надёжным. Именно поэтому доказывать непрерывность каждой встречающейся в курсе функции с нуля (как в утомительном Примере 19.1) больше никогда не понадобится — рутинная механическая работа сделана раз и навсегда для всех элементарных функций сразу.Picture "a continuous function" as a certified building block: "this piece has no chips or cracks." The theorems in this section state that if you take two such certified pieces and glue them together with standard glue (addition, multiplication, division, nesting one inside the other), the result is also guaranteed chip-free — there's no need to re-inspect the glued piece under a microscope every time, it's enough to know the original pieces were certified and the gluing method is reliable. That's exactly why proving the continuity of every function encountered in the course from scratch (as in the tedious Example 19.1) will never be necessary again — the routine mechanical work has been done once and for all, for every elementary function at once.
Пример из жизни. Представьте сборку компьютера из сертифицированных комплектующих: если процессор сертифицирован работать без сбоев, материнская плата сертифицирована, блок питания сертифицирован — производитель не обязан заново тестировать «весь собранный компьютер целиком с нуля» на предмет случайных сбоев в каждой возможной точке платы: достаточно, что каждый компонент прошёл сертификацию по отдельности, а способ их соединения (стандартные разъёмы, стандартные протоколы) сам по себе надёжен. Ровно так же математик, зная, что sin, eˣ, ln и степенные функции «сертифицированы» как непрерывные, а операции сложения/умножения/композиции «сертифицированы» как сохраняющие непрерывность, может сразу писать: «эта сложная формула непрерывна везде, где определена» — без микроскопа в каждой отдельной точке.A real-life example. Picture assembling a computer from certified components: if the processor is certified failure-free, the motherboard is certified, the power supply is certified — the manufacturer doesn't need to retest "the entire assembled computer from scratch" for random glitches at every possible point on the board: it's enough that each component passed certification individually, and the way they're connected (standard connectors, standard protocols) is itself reliable. In exactly the same way, a mathematician, knowing that \sin, eˣ, \ln, and power functions are "certified" continuous, and that addition/multiplication/composition are "certified" to preserve continuity, can immediately write: "this complicated formula is continuous wherever it's defined" — no microscope needed at every individual point.
Рис. 65. sin x и eˣ — «сертифицированные» непрерывные функции (19.4); умножение — «сертифицированная» операция, сохраняющая непрерывность (теорема об арифметике); результат sin x·eˣ непрерывен автоматически, без отдельной ε-δ-проверки.Fig. 65. \sin x and eˣ are "certified" continuous functions (19.4); multiplication is a "certified" continuity-preserving operation (the arithmetic theorem); the result \sin x·eˣ is continuous automatically, with no separate ε-δ check.
Теорема о непрерывности элементарных функций не утверждает, что элементарная функция непрерывна на всей числовой прямой — только там, где она вообще определена (14.1). Функция f(x)=1/(x²-4) — элементарная (частное многочленов), непрерывная везде на своей области определения, но эта область — ℝ\{-2;2} (14.1: деление на ноль исключается), и в точках x=±2 функция не определена и, соответственно, не непрерывна там (это разрыв второго рода, 19.3, а не нарушение теоремы: теорема просто не делает никаких утверждений о точках вне области определения). Забыть сначала найти область определения — частая причина ошибочного вывода «непрерывна всюду».The theorem on the continuity of elementary functions doesn't claim an elementary function is continuous on the entire real line — only wherever it's actually defined (14.1). The function f(x)=1/(x²-4) is elementary (a ratio of polynomials), continuous everywhere on its domain, but that domain is ℝ\{-2;2} (14.1: division by zero is excluded), and at the points x=±2 the function is undefined and, accordingly, not continuous there (that's a discontinuity of the second kind, 19.3, not a violation of the theorem: the theorem simply makes no claims about points outside the domain). Forgetting to find the domain first is a common cause of the mistaken conclusion "continuous everywhere."
Легко машинально проверить «непрерывна ли f в x₀» вместо правильного «непрерывна ли f в точке u₀=φ(x₀)» — это две разные точки, если φ не тождественная функция, и путать их особенно легко, когда φ устроена сложно. Например, для f(u)=1/u и φ(x)=x-3, композиция f(φ(x))=1/(x-3) непрерывна во всех точках, кроме той, где φ(x₀)=0, то есть x₀=3 — а вовсе не там, где x₀=0 (в этой точке как раз всё в порядке: φ(0)=-3≠0, и f там непрерывна). Проверка области определения композиции (14.5) должна вестись именно через значения φ, а не через сам аргумент x.It's easy to mechanically check "is f continuous at x₀" instead of the correct "is f continuous at the point u₀=φ(x₀)" — these are two different points if φ isn't the identity function, and it's especially easy to conflate them when φ is structurally complex. For example, for f(u)=1/u and φ(x)=x-3, the composition f(φ(x))=1/(x-3) is continuous everywhere except where φ(x₀)=0, i.e., x₀=3 — not at all where x₀=0 (at that point everything is actually fine: φ(0)=-3≠0, and f is continuous there). Checking the domain of a composition (14.5) must go through the values of φ, not through the argument x itself.
источникsource
Основные теоремы о непрерывных функциях, непрерывность элементарных функций — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §19.4 «Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций», с. 148–149. Связь с 14.5/14.6/17.3/18.2/19.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Basic theorems on continuous functions, the continuity of elementary functions — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §19.4 "Basic Theorems on Continuous Functions. Continuity of Elementary Functions," pp. 148–149. The connection to 14.5/14.6/17.3/18.2/19.1, and the "Gotchas" section, are original additions.