19.1 — Глава V, §19. Непрерывность функций19.1 — Chapter V, §19. Continuity of Functions
В 16.1 подчёркивалось: предел функции в точке x₀ не обязан совпадать со значением f(x₀) — они принципиально разные вещи, проверяемые проколотой окрестностью. Здесь наконец формально фиксируется частный случай, который до сих пор использовался интуитивно (17.5: «непрерывность косинуса», 18.2: «непрерывность логарифма») — ситуация, когда предел и значение совпадают. Именно это совпадение и называется непрерывностью.In 16.1 it was stressed: the limit of a function at a point x₀ need not coincide with the value f(x₀) — they're fundamentally different things, checked via a punctured neighborhood. Here, at last, the special case that's been used intuitively all along (17.5: "the continuity of cosine," 18.2: "the continuity of the logarithm") gets a formal definition — the situation where the limit and the value coincide. That coincidence is exactly what's called continuity.
Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в некоторой окрестности x₀ (включая саму точку — не проколотой!) и lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).A function f(x) is called continuous at a point x₀ if it's defined in some neighborhood of x₀ (including the point itself — not punctured!) and lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).
Три условия скрыты в этой короткой записи, и все три обязательны: (1) f(x₀) определено (функция вообще существует в самой точке — не как в 16.1, где предел мог существовать при неопределённой f(x₀)); (2) lim_{x→x₀}f(x) существует (16.1, а по 16.2 — оба односторонних предела существуют и равны); (3) эти два числа — предел и значение — совпадают. Отсутствие любого из трёх условий даёт разрыв (терминология уточняется в 19.3).Three conditions are hidden in this short formula, and all three are mandatory: (1) f(x₀) is defined (the function actually exists at the point itself — unlike in 16.1, where the limit could exist while f(x₀) was undefined); (2) lim_{x→x₀}f(x) exists (16.1, and by 16.2 — both one-sided limits exist and agree); (3) these two numbers — the limit and the value — coincide. The absence of any of the three conditions gives a discontinuity (terminology refined in 19.3).
Положим Δx=x-x₀ («приращение аргумента») и Δy=f(x)-f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀) («приращение функции»). Тогда f непрерывна в x₀ тогда и только тогда, когда lim_{Δx→0} Δy = 0.Let Δx=x-x₀ (the "increment of the argument") and Δy=f(x)-f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀) (the "increment of the function"). Then f is continuous at x₀ if and only if lim_{Δx→0} Δy = 0.
Эта переформулировка — прямое применение теоремы 17.2 (f(x)=A+α(x)) с A=f(x₀): непрерывность утверждает, что Δy=f(x)-f(x₀) само является бесконечно малой (17.1) при Δx→0. Запись через приращения станет рабочей формой определения в §20, когда разность Δy, делённая на Δx, превратится в производную — непрерывность окажется необходимым (хотя, как будет отмечено в §20, не достаточным) условием дифференцируемости.This reformulation is a direct application of the theorem in 17.2 (f(x)=A+α(x)) with A=f(x₀): continuity asserts that Δy=f(x)-f(x₀) is itself infinitesimal (17.1) as Δx→0. The increment-based notation becomes the working form of the definition in §20, once the difference Δy, divided by Δx, turns into a derivative — continuity will turn out to be a necessary (though, as noted in §20, not sufficient) condition for differentiability.
Проверить непрерывность f(x)=x² в точке x₀=3.Verify the continuity of f(x)=x² at the point x₀=3.
f(3)=9 — определено. Вычислим lim_{x→3}x²: по теоремам 17.3 (предел произведения), lim_{x→3}x² = lim_{x→3}(x·x) = (lim_{x→3}x)·(lim_{x→3}x) = 3·3=9 (используя lim_{x→3}x=3, что следует напрямую из определения 16.1 с δ=ε). Предел 9 совпадает со значением f(3)=9 — функция непрерывна в этой точке.f(3)=9 — defined. Compute lim_{x→3}x²: by the theorems in 17.3 (the limit of a product), lim_{x→3}x² = lim_{x→3}(x·x) = (lim_{x→3}x)·(lim_{x→3}x) = 3·3=9 (using lim_{x→3}x=3, which follows directly from the definition in 16.1 with δ=ε). The limit 9 coincides with the value f(3)=9 — the function is continuous at this point.
Школьная интуиция «график можно нарисовать, не отрывая карандаша» — на удивление точное описание непрерывности, хотя и неформальное (строгое определение выше работает даже там, где рисовать вообще нечем, например, для функций, заданных не графически). Смысл в следующем: если подходить к точке x₀ по графику функции всё ближе и ближе (это предел, 16.1), то и высота карандаша на бумаге должна стремиться ровно туда, где карандаш физически стоит в момент x=x₀ (это значение f(x₀)). Если график «подкрадывается» к одной высоте, а на самом деле карандаш в этой точке стоит на другой (или там дыра) — приходится отрывать карандаш и переставлять его, то есть график разрывный.The school-level intuition "the graph can be drawn without lifting the pencil" is a surprisingly accurate description of continuity, even if informal (the rigorous definition above works even where there's nothing to draw at all, e.g., for functions given non-graphically). The idea is: if you approach the point x₀ along the function's graph closer and closer (that's the limit, 16.1), the pencil's height on the paper should tend to exactly where the pencil physically sits at the moment x=x₀ (that's the value f(x₀)). If the graph "sneaks up" to one height, but the pencil actually sits at a different height at that point (or there's a hole) — you have to lift the pencil and reposition it, meaning the graph is discontinuous.
Пример из жизни. Представьте высоту вашего роста как функцию возраста h(t). В любой момент времени t₀ у вас есть конкретный рост h(t₀) — вы не можете «не иметь» роста ни в один момент. И если посмотреть, к чему стремится ваш рост непосредственно до и сразу после этого момента, ответ совпадёт с фактическим ростом в момент t₀: рост не «телепортируется» скачком, он меняется постепенно. Это и есть непрерывность в чистом виде: физическая величина не может внезапно перепрыгнуть на другое значение, минуя промежуточные — сравните с тарифом такси из 16.2, который именно так и делает (перепрыгивает с 300 на 450 ровно в полночь) и потому разрывен.A real-life example. Picture your height as a function of age h(t). At any moment t₀ you have a specific height h(t₀) — you can't "lack" a height at any instant. And looking at what your height tends toward immediately before and right after that moment, the answer matches the actual height at moment t₀: height doesn't "teleport" in a jump, it changes gradually. That's continuity in its pure form: a physical quantity can't suddenly leap to a different value, skipping the ones in between — compare with the taxi rate from 16.2, which does exactly that (jumping from 300 to 450 right at midnight) and is therefore discontinuous.
Рис. 62. Непрерывная функция роста h(t): график проходит через точку (t₀, h(t₀)) без разрыва (закрашенный кружок) — предел слева, предел справа и само значение функции в точке совпадают.Fig. 62. A continuous height function h(t): the graph passes through the point (t₀, h(t₀)) without a break (filled circle) — the left-hand limit, right-hand limit, and the function's actual value at the point all coincide.
Функция может иметь предел в точке x₀, но не быть непрерывной — если этот предел не совпадает со значением f(x₀) (или значение вовсе не определено). Пример из Граблей в 16.1: f(x)=1 при x≠0, f(0)=100. Предел lim_{x→0}f(x)=1 существует, но f(0)=100≠1 — непрерывности нет, несмотря на существующий предел. Определение 16.1 намеренно игнорирует значение в самой точке (проколотая окрестность), а непрерывность как раз требует, чтобы это игнорируемое значение совпало с пределом — потому окрестность здесь уже не проколотая.A function can have a limit at a point x₀ without being continuous — if that limit doesn't coincide with the value f(x₀) (or the value isn't defined at all). The example from the Gotchas in 16.1: f(x)=1 for x≠0, f(0)=100. The limit lim_{x→0}f(x)=1 exists, but f(0)=100≠1 — there's no continuity, despite the existing limit. The definition in 16.1 deliberately ignores the value at the point itself (a punctured neighborhood), while continuity precisely requires that ignored value to match the limit — which is why the neighborhood here is no longer punctured.
Непрерывность проверяется в каждой конкретной точке по строгому определению — это не общее визуальное впечатление «график выглядит гладким». Функция может быть непрерывной почти всюду и иметь единственную проблемную точку, незаметную на грубом графике (например, f(x)=sin(1/x) при x≠0, доопределённая произвольно в x=0, — колебания вблизи нуля настолько частые, что предел в 0 вовсе не существует, хотя вдалеке от нуля график выглядит вполне обычной волной). Проверка непрерывности — это применение формального определения в конкретной точке, а не общая оценка «на глаз».Continuity is checked at each specific point via the rigorous definition — it's not a general visual impression of "the graph looks smooth." A function can be continuous almost everywhere and have a single problematic point invisible on a coarse plot (e.g., f(x)=\sin(1/x) for x≠0, arbitrarily extended at x=0 — the oscillations near zero are so frequent that the limit at 0 doesn't exist at all, even though far from zero the graph looks like an ordinary wave). Checking continuity means applying the formal definition at a specific point, not a general "by eye" assessment.
источникsource
Непрерывность функции в точке, запись через приращения — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §19.1 «Непрерывность функции в точке», с. 145–146. Пример 19.1, связь с 16.1/17.1/17.2/19.3, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Continuity of a function at a point, the increment-based formulation — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §19.1 "Continuity of a Function at a Point," pp. 145–146. Example 19.1, the connection to 16.1/17.1/17.2/19.3, and the "Gotchas" section, are original additions.