17.3 — Глава V, §17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)17.3 — Chapter V, §17. Infinitely Small Functions
До сих пор каждый предел приходилось доказывать заново по определению 16.1 (как в примерах 16.1 и 16.3) — трудоёмко даже для простейших функций. Здесь этот труд окупается раз и навсегда: арифметика пределов (сумма, произведение, частное) сводится к арифметике самих функций, и доказывается это ровно тем инструментом, который был подготовлен в 17.1–17.2 — представлением f(x)=A+α(x).Up to now, every limit had to be proved from scratch via the definition in 16.1 (as in Examples 16.1 and 16.3) — laborious even for the simplest functions. Here that labor pays off once and for all: the arithmetic of limits (sum, product, quotient) reduces to the arithmetic of the functions themselves, and this is proved using exactly the tool prepared in 17.1–17.2 — the representation f(x)=A+α(x).
Пусть lim_{x→x₀}f(x)=A и lim_{x→x₀}g(x)=B (оба предела конечны). Тогда:Let lim_{x→x₀}f(x)=A and lim_{x→x₀}g(x)=B (both limits finite). Then:
1. lim (f(x)±g(x)) = A±B.
2. lim (f(x)·g(x)) = A·B (в частности, lim(c·f(x))=c·A для постоянной c).
3. lim (f(x)/g(x)) = A/B, при условии B≠0.1. lim (f(x)±g(x)) = A±B.
2. lim (f(x)·g(x)) = A·B (in particular, lim(c·f(x))=c·A for a constant c).
3. lim (f(x)/g(x)) = A/B, provided B≠0.
Идея доказательства (на примере суммы): по теореме 17.2, f(x)=A+α(x) и g(x)=B+β(x), где α, β — бесконечно малые. Тогда f(x)+g(x)=(A+B)+(α(x)+β(x)), и по теореме 17.1 сумма двух бесконечно малых α+β снова бесконечно мала — значит, снова по теореме 17.2 (в обратную сторону), lim(f+g)=A+B. Доказательство произведения устроено похоже, но требует ещё и утверждения 17.1 о произведении б.м.ф. на ограниченную функцию (сама f или g, как сходящаяся, ограничена по теореме из 15.2, перенесённой на функции). Именно ради этой цепочки и выстраивался весь аппарат 17.1–17.2 — без него каждую из трёх теорем пришлось бы доказывать напрямую через ε-δ, как в Примере 16.1.The idea of the proof (for the sum): by the theorem in 17.2, f(x)=A+α(x) and g(x)=B+β(x), where α, β are infinitesimal. Then f(x)+g(x)=(A+B)+(α(x)+β(x)), and by the theorem in 17.1 the sum of two infinitesimals α+β is again infinitesimal — so, again by the theorem in 17.2 (in reverse), lim(f+g)=A+B. The proof for the product works similarly but also needs the statement from 17.1 about the product of an i.s.f. and a bounded function (either f or g, being convergent, is bounded by the theorem from 15.2 carried over to functions). This entire chain is exactly why the apparatus of 17.1–17.2 was built — without it, each of the three theorems would have to be proved directly via ε-δ, as in Example 16.1.
Смысл этих трёх теорем — «предел суммы = сумма пределов», «предел произведения = произведение пределов» и так далее, то есть операция предельного перехода дружит с арифметикой. Не нужно доказывать существование и значение предела каждой сложной комбинации функций с нуля — если известны пределы «кирпичиков», предел их суммы/произведения/частного собирается автоматически, теми же арифметическими действиями. Это резко экономит труд: вместо тысячи отдельных ε-δ-доказательств достаточно один раз доказать три теоремы и дальше применять их как обычную алгебру.The point of these three theorems is "the limit of a sum = the sum of the limits," "the limit of a product = the product of the limits," and so on — that is, the operation of taking a limit plays nicely with arithmetic. There's no need to prove the existence and value of the limit of every complicated combination of functions from scratch — if the limits of the "building blocks" are known, the limit of their sum/product/quotient assembles automatically, via the same arithmetic operations. This drastically saves effort: instead of a thousand separate ε-δ proofs, it suffices to prove three theorems once and then apply them like ordinary algebra.
Пример из жизни. Представьте два крана, наполняющих один бассейн. Скорость подачи воды первого крана со временем стабилизируется около 5 литров/мин (это lim f(t)=5), скорость второго — около 3 литров/мин (lim g(t)=3). Вопрос: к чему стремится суммарная скорость наполнения бассейна? Интуитивно очевидно — к 5+3=8 литров/мин, и доказывать это заново для каждой пары кранов не нужно: раз скорость каждого крана стабилизируется, стабилизируется и их сумма, причём именно к сумме пределов. Это и есть теорема 1 в чистом виде — она просто узаконивает интуицию, которая работает для любых складывающихся процессов, будь то краны, скорости или температуры разных источников тепла.A real-life example. Picture two faucets filling one pool. The flow rate of the first faucet stabilizes over time near 5 liters/min (that's lim f(t)=5), the second near 3 liters/min (lim g(t)=3). Question: what does the combined fill rate of the pool tend toward? Intuitively obvious — 5+3=8 liters/min, and there's no need to reprove this for every pair of faucets: once each faucet's rate stabilizes, their sum stabilizes too, precisely at the sum of the limits. That's theorem 1 in its plain form — it simply legitimizes an intuition that works for any combining processes, whether faucets, speeds, or temperatures from different heat sources.
Рис. 55. Скорости двух кранов f(t)→5 и g(t)→3, а их сумма (f+g)(t) стремится к 5+3=8 — предел суммы равен сумме пределов.Fig. 55. The rates of two faucets f(t)→5 and g(t)→3, with their sum (f+g)(t) tending to 5+3=8 — the limit of the sum equals the sum of the limits.
Если lim g(x)=0, теорема о частном не работает вовсе (деление на B=0 не определено) — предел f/g в этом случае нужно исследовать отдельно (часто получается неопределённость вида 0/0 или конечный/бесконечный результат в зависимости от скорости убывания g, тема, которая станет центральной в §18 при сравнении бесконечно малых). Ещё коварнее: если lim f(x) или lim g(x) не существует вовсе (например, колеблется, как sin x при x→∞), теоремы неприменимы, даже если сумма или произведение сами по себе имеют предел — теорема не работает «в обратную сторону» без дополнительных условий.If lim g(x)=0, the quotient theorem doesn't apply at all (division by B=0 is undefined) — the limit of f/g in that case needs separate investigation (often yielding a 0/0 indeterminate form or a finite/infinite result depending on how fast g decays, a topic that becomes central in §18 when comparing infinitesimals). Even trickier: if lim f(x) or lim g(x) doesn't exist at all (e.g., it oscillates, like \sin x as x→∞), the theorems don't apply, even if the sum or product itself happens to have a limit — the theorem doesn't run "in reverse" without extra conditions.
Теорема 2 требует, чтобы оба предела A и B были конечными числами. Если один из множителей стремится к нулю, а другой — к бесконечности (16.4), теорема неприменима: произведение 0·∞ — классическая неопределённость, у которой предел может быть любым конечным числом, нулём или бесконечностью в зависимости от конкретных функций. Формула теоремы 2 работает только внутри «безопасной зоны» — оба множителя конечны — и не распространяется автоматически на граничные случаи с бесконечностями.Theorem 2 requires both limits A and B to be finite numbers. If one factor tends to zero and the other to infinity (16.4), the theorem doesn't apply: the product 0·∞ is a classic indeterminate form, whose limit can be any finite number, zero, or infinity depending on the specific functions involved. Theorem 2's formula only works inside the "safe zone" — both factors finite — and doesn't automatically extend to boundary cases involving infinities.
источникsource
Основные теоремы о пределах (арифметика пределов) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §17.3 «Основные теоремы о пределах», с. 136–138. Связь с 15.2/16.4/17.2/18, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Basic theorems on limits (the arithmetic of limits) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §17.3 "Basic Theorems on Limits," pp. 136–138. The connection to 15.2/16.4/17.2/18, and the "Gotchas" section, are original additions.