21.2 — Глава V, §21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций21.2 — Chapter V, §21. Differentiating Implicit and Parametrically Defined Functions
14.2 уже упоминало параметрический способ задания функции как один из пяти («по параметру» наравне с аналитическим, табличным и т.д.), но не показывало, как с ним работать. Здесь этот способ раскрывается полностью: и x, и y заданы как функции третьей, вспомогательной переменной — параметра t — и производная y'_x ищется, минуя явную зависимость y от x, ровно как в 21.1 обходилась явная зависимость через неявное уравнение.14.2 already mentioned the parametric way of defining a function as one of five ("by a parameter," alongside the analytic, tabular, and other forms), but didn't show how to work with it. Here that method is unpacked fully: both x and y are given as functions of a third, auxiliary variable — the parameter t — and the derivative y'_x is found bypassing the explicit dependence of y on x, exactly as 21.1 bypassed the explicit dependence via an implicit equation.
Функция y=y(x) задана параметрически, если x=x(t) и y=y(t), где t — параметр, пробегающий некоторый промежуток, и функция x(t) имеет обратную t=t(x) (14.4), так что композиция y=y(t(x)) корректно определяет y как функцию от x.A function y=y(x) is defined parametrically if x=x(t) and y=y(t), where t is a parameter ranging over some interval, and the function x(t) has an inverse t=t(x) (14.4), so that the composition y=y(t(x)) correctly defines y as a function of x.
Формула для y'_x получается прямой комбинацией уже известных правил — цепного правила (20.5, для композиции y(t(x))) и правила производной обратной функции (20.5, для t'(x)=1/x'(t)):The formula for y'_x comes from directly combining already-known rules — the chain rule (20.5, for the composition y(t(x))) and the rule for the derivative of an inverse function (20.5, for t'(x)=1/x'(t)):
y'_x = y'_t · t'_x = y'_t · 1/x'_t = y'_t / x'_t (при x'_t≠0).y'_x = y'_t / x'_t, где y'_t и x'_t — обычные производные y(t) и x(t) по параметру t, вычисляемые по обычной таблице (20.8), а не по x.y'_x = y'_t / x'_t, where y'_t and x'_t are the ordinary derivatives of y(t) and x(t) with respect to the parameter t, computed using the ordinary table (20.8), not with respect to x.
Эта формула — не новое правило дифференцирования в смысле 20.4–20.5, а комбинация двух уже выведенных: никакой отдельной теории здесь не требуется, только аккуратное применение цепного правила к двум функциям одного параметра одновременно.This formula isn't a new differentiation rule in the sense of 20.4–20.5, but a combination of two already-derived ones: no separate theory is needed here, just the careful application of the chain rule to two functions of a single parameter simultaneously.
Окружность из Примера 21.1 (x²+y²=1) в параметрической форме: x=cos t, y=sin t (12.9: стандартная параметризация окружности единичного радиуса, эквивалентная тождеству cos²t+sin²t=1). Найти y'_x при t=π/4.The circle from Example 21.1 (x²+y²=1) in parametric form: x=\cos t, y=\sin t (12.9: the standard parametrization of a unit circle, equivalent to the identity \cos^2 t+\sin^2 t=1). Find y'_x at t=π/4.
По таблице (20.6/20.8): x'_t=(cos t)'=-sin t, y'_t=(sin t)'=cos t. По формуле выше:By the table (20.6/20.8): x'_t=(\cos t)'=-\sin t, y'_t=(\sin t)'=\cos t. By the formula above:
y'_x = cos t / (-sin t) = -ctg t.При t=π/4: точка (cos π/4; sin π/4)=(√2/2;√2/2) — та же точка, что и в Примере 21.1. y'_x=-ctg(π/4)=-1. Ответ совпадает с результатом неявного дифференцирования из 21.1: два разных метода (неявный и параметрический), применённые к геометрически одному и тому же объекту, дают одну и ту же производную — важная взаимная проверка.At t=π/4: the point (\cos π/4; \sin π/4)=(\sqrt{2}/2;\sqrt{2}/2) — the same point as in Example 21.1. y'_x=-\cot(π/4)=-1. The answer matches the result of implicit differentiation from 21.1: two different methods (implicit and parametric), applied to geometrically the same object, give the same derivative — an important cross-check.
Представьте точку, движущуюся по кривой, и параметр t как «время» этого движения (буквальное обобщение задачи о скорости из 20.1, только там движение было вдоль прямой, а здесь — по произвольной кривой на плоскости). x'_t — это скорость изменения горизонтальной координаты («как быстро точка движется вбок»), y'_t — скорость изменения вертикальной координаты («как быстро точка движется вверх-вниз»). Наклон траектории (y'_x, «сколько вверх на единицу вбок») — это просто отношение вертикальной скорости к горизонтальной: если точка движется вбок вдвое медленнее, чем вверх, траектория идёт круто вверх, что в точности и даёт формула y'_t/x'_t.Picture a point moving along a curve, with the parameter t as the "time" of that motion (a literal generalization of the speed problem from 20.1, except there the motion was along a straight line, and here it's along an arbitrary curve in the plane). x'_t is the rate of change of the horizontal coordinate ("how fast the point moves sideways"), y'_t is the rate of change of the vertical coordinate ("how fast the point moves up-down"). The slope of the path (y'_x, "how much up per unit sideways") is simply the ratio of the vertical speed to the horizontal speed: if the point moves sideways half as fast as it moves upward, the path climbs steeply, which is exactly what the formula y'_t/x'_t gives.
Пример из жизни. Представьте самолёт, набирающий высоту во время взлёта. В момент времени t его горизонтальная удалённость от аэропорта — x(t), а высота над землёй — y(t). Пилот и диспетчер измеряют разные вещи: пилот следит за горизонтальной скоростью x'_t (км/ч по земле) и вертикальной скоростью набора высоты y'_t (м/мин), а угол набора высоты — тот самый «уклон» траектории (ровно как в примере с уклономером из 20.2) — вычисляется как отношение этих двух скоростей, y'_t/x'_t. Ни пилот, ни диспетчер напрямую не измеряют «высоту как функцию горизонтальной удалённости» — у обоих есть только показания приборов по времени, но угол набора высоты извлекается из отношения двух временных скоростей, а не из явной формулы y=f(x).A real-life example. Picture an airplane climbing during takeoff. At time t, its horizontal distance from the airport is x(t), and its altitude above ground is y(t). The pilot and the controller measure different things: the pilot tracks the horizontal speed x'_t (km/h over ground) and the vertical climb rate y'_t (m/min), while the climb angle — that same "grade" of the trajectory (exactly as in the grade-meter example from 20.2) — is computed as the ratio of these two rates, y'_t/x'_t. Neither the pilot nor the controller directly measures "altitude as a function of horizontal distance" — both only have instrument readings over time, but the climb angle is extracted from the ratio of two time-based rates, not from an explicit formula y=f(x).
Рис. 75. Траектория взлёта самолёта, заданная параметрически через время t: горизонтальная скорость x'_t (зелёная) и вертикальная скорость набора высоты y'_t (жёлтая) вместе определяют угол наклона траектории (сиреневая) как отношение y'_t/x'_t.Fig. 75. The airplane's takeoff trajectory, given parametrically via time t: horizontal speed x'_t (green) and vertical climb rate y'_t (yellow) together determine the trajectory's slope (lavender) as the ratio y'_t/x'_t.
Результат y'_x=-ctg t в Примере 21.2 выражен через t, а не через x — и это нормальный, ожидаемый вид ответа, а не промежуточный шаг, требующий дальнейшего преобразования. Чтобы найти значение производной в конкретной точке кривой, достаточно подставить соответствующее значение параметра t (как и было сделано при t=π/4) — не обязательно (а зачастую и невозможно в замкнутой форме) выражать y'_x как явную функцию именно от x. Ожидание, что ответ обязательно должен быть «очищен» от t, — методологическая ошибка, происходящая из привычки к явным функциям 14.2.The result y'_x=-\cot t in Example 21.2 is expressed in terms of t, not x — and that's a normal, expected form of the answer, not an intermediate step requiring further transformation. To find the derivative's value at a specific point on the curve, it suffices to substitute the corresponding value of the parameter t (as was done at t=π/4) — it's not necessary (and often impossible in closed form) to express y'_x as an explicit function of x itself. Expecting the answer must be "cleared" of t is a methodological mistake stemming from the habit of working with explicit functions from 14.2.
При x'_t=0 формула y'_x=y'_t/x'_t требует деления на ноль — это происходит там, где горизонтальная координата x(t) в данный момент параметра не меняется (мгновенно), а точка движется «строго вверх/вниз» относительно оси x. Геометрически это означает вертикальную касательную (тот же сценарий, что и в Граблях 21.1 про y=0 на окружности, и в Граблях 20.5 про x³) — производная y'_x как конечное число не существует в этой точке, хотя сама кривая может быть вполне гладкой в параметрическом смысле (x'_t и y'_t оба существуют и конечны, просто x'_t случайно равен нулю).When x'_t=0, the formula y'_x=y'_t/x'_t requires dividing by zero — this happens where the horizontal coordinate x(t) isn't changing (instantaneously) at that value of the parameter, and the point is moving "strictly up/down" relative to the x-axis. Geometrically this means a vertical tangent (the same scenario as in the Gotchas of 21.1 about y=0 on the circle, and in the Gotchas of 20.5 about x³) — the derivative y'_x as a finite number doesn't exist at that point, even though the curve itself may be perfectly smooth in the parametric sense (x'_t and y'_t both exist and are finite, x'_t just happens to equal zero).
источникsource
Функция, заданная параметрически, производная параметрически заданной функции — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §21.2 «Функция, заданная параметрически», с. 166–167. Пример 21.2, связь с 12.9/14.2/14.4/20.1/20.5/21.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.A parametrically defined function, the derivative of a parametrically defined function — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §21.2 "A Parametrically Defined Function," pp. 166–167. Example 21.2, the connection to 12.9/14.2/14.4/20.1/20.5/21.1, and the "Gotchas" section, are original additions.