§22 — Глава V, §22. Логарифмическое дифференцирование§22 — Chapter V, §22. Logarithmic Differentiation
Грабли в 20.6 явно предупреждали: функция вида f(x)^{g(x)} (переменная и в основании, и в показателе одновременно, как xˣ) не покрывается ни степенным, ни показательным правилом напрямую. Здесь этот пробел закрывается — не новой формулой в таблице (20.8), а приёмом: прологарифмировать обе части равенства перед дифференцированием, превращая непокрытый случай в комбинацию уже знакомых операций (§21: неявное дифференцирование) плюс арифметику логарифмов (14.6).The Gotchas in 20.6 explicitly warned: a function of the form f(x)^{g(x)} (the variable in both the base and the exponent at once, like xˣ) isn't covered directly by either the power rule or the exponential rule. Here that gap is closed — not with a new formula in the table (20.8), but with a technique: taking the logarithm of both sides of the equation before differentiating, turning the uncovered case into a combination of already-familiar operations (§21: implicit differentiation) plus the arithmetic of logarithms (14.6).
Пусть y=f(x)^{g(x)}, где обе f и g — дифференцируемые функции, и f(x)>0 (чтобы логарифм был определён, 14.6). Метод:Let y=f(x)^{g(x)}, where both f and g are differentiable functions, and f(x)>0 (so the logarithm is defined, 14.6). The method:
1. Прологарифмировать обе части: ln y = g(x)·ln f(x) (свойство логарифма степени, 14.6).
2. Продифференцировать обе части по x, считая y функцией от x (§21, неявное дифференцирование):
y'/y = g'(x)·ln f(x) + g(x)·f'(x)/f(x) (правило произведения 20.4 + цепное правило для ln f(x), 20.5).
3. Домножить на y = f(x)^{g(x)}:
y' = f(x)^{g(x)} · [g'(x)·ln f(x) + g(x)·f'(x)/f(x)].Шаг 2 — это в точности неявное дифференцирование из 21.1, применённое к уравнению F(x,y)=ln y - g(x)ln f(x)=0: слева при дифференцировании ln y появляется множитель y' по цепному правилу (тем же способом, каким в Примере 21.1 появлялся множитель y' при дифференцировании y²). Ничего принципиально нового в этом методе нет — только правильная последовательность уже известных шагов.Step 2 is exactly the implicit differentiation from 21.1, applied to the equation F(x,y)=\ln y - g(x)\ln f(x)=0: on the left, differentiating \ln y produces the factor y' by the chain rule (the same way the factor y' appeared when differentiating y² in Example 21.1). There's nothing fundamentally new in this method — only the correct sequence of already-known steps.
Найти производную y=xˣ (x>0) — функция, явно упомянутая как непокрытая в Граблях 20.6.Find the derivative of y=xˣ (x>0) — the function explicitly flagged as uncovered in the Gotchas of 20.6.
Здесь f(x)=x, g(x)=x. Логарифмируем: ln y = x·ln x. Дифференцируем обе части (правило произведения 20.4, справа — x и ln x):Here f(x)=x, g(x)=x. Take the logarithm: \ln y = x·\ln x. Differentiate both sides (the product rule from 20.4, on the right — x and \ln x):
y'/y = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1.Домножаем на y=xˣ:Multiply by y=xˣ:
y' = xˣ·(ln x + 1).Проверка на частном случае: если бы (ошибочно) применить степенное правило, получилось бы x·xˣ⁻¹=xˣ — не совпадает с верным ответом xˣ(ln x+1), что подтверждает предупреждение из Граблей 20.6: степенное правило здесь неприменимо в принципе, а не просто неточно.A sanity check: if the power rule were (mistakenly) applied, the result would be x·x^{x-1}=xˣ — not matching the correct answer xˣ(\ln x+1), confirming the warning from the Gotchas of 20.6: the power rule doesn't just give an imprecise result here, it simply doesn't apply.
Тот же приём полезен и для функций без переменного показателя, но со сложным произведением/частным множителей — логарифм превращает умножение в сложение (14.6: ln(ab)=ln a+ln b), заменяя громоздкое повторное применение правила произведения (20.4) на более простое дифференцирование суммы (20.4). Это вторичное применение метода, не связанное с проблемой f(x)^{g(x)} напрямую, но использующее ту же идею логарифмирования перед дифференцированием.The same technique is also useful for functions without a variable exponent, but with a complicated product/quotient of factors — the logarithm turns multiplication into addition (14.6: \ln(ab)=\ln a+\ln b), replacing a cumbersome repeated application of the product rule (20.4) with simpler differentiation of a sum (20.4). This is a secondary application of the method, unrelated to the f(x)^{g(x)} problem directly, but using the same idea of logarithming before differentiating.
Вся сила метода — в одном свойстве логарифма: он превращает умножение в сложение, а возведение в степень — в умножение (14.6). Функция xˣ сочетает оба «трудных» действия сразу: переменное основание и переменный показатель, спутанные в одну операцию, для которой в таблице 20.8 попросту нет отдельной строки. Логарифмирование — это не вычислительный трюк ради трюка, а способ «распутать» именно эту спутанность: после ln y = g(x)ln f(x) переменные f и g входят в выражение уже не через возведение в степень, а через обычное произведение — операцию, для которой правило дифференцирования (20.4) давно выведено и хорошо знакомо.The method's whole power lies in one property of the logarithm: it turns multiplication into addition, and exponentiation into multiplication (14.6). The function xˣ combines both "hard" operations at once: a variable base and a variable exponent, tangled into one operation for which the table in 20.8 simply has no dedicated row. Taking the logarithm isn't a computational trick for its own sake, but a way to "untangle" precisely this entanglement: after \ln y = g(x)\ln f(x), the variables f and g enter the expression no longer via exponentiation, but via ordinary multiplication — an operation whose differentiation rule (20.4) has long been derived and is well understood.
Пример из жизни. Представьте задачу сравнения громкости звука в децибелах вместо привычных единиц мощности. Шкала децибел устроена логарифмически именно потому, что реальная физическая мощность звука меняется на порядки, и работать с произведениями было бы неудобно — а вот суммы децибел складываются интуитивно понятно («добавили ещё один одинаковый источник звука — прибавили примерно 3 дБ», а не «умножили мощность на два»). Переход к логарифмической шкале превращает трудную для восприятия операцию умножения мощностей в лёгкую для восприятия операцию сложения децибел — совершенно та же идея, что превращает трудную для дифференцирования степень переменного основания в переменной степени в лёгкое для дифференцирования произведение после логарифмирования.A real-life example. Picture comparing sound loudness in decibels instead of the usual units of power. The decibel scale is built logarithmically precisely because real physical sound power varies by orders of magnitude, and working with products would be unwieldy — whereas sums of decibels add up intuitively ("added another identical sound source — added about 3 dB," rather than "doubled the power"). Switching to a logarithmic scale turns the hard-to-grasp operation of multiplying powers into the easy-to-grasp operation of adding decibels — exactly the same idea that turns a variable base raised to a variable power, hard to differentiate, into a product, easy to differentiate, after taking the logarithm.
Рис. 76. Логарифмирование переводит «трудную» операцию (переменные и в основании, и в показателе одновременно) в «лёгкую» (обычное произведение двух функций), для которой правило дифференцирования давно выведено в 20.4.Fig. 76. Taking the logarithm translates a "hard" operation (variables in both the base and exponent at once) into an "easy" one (an ordinary product of two functions), for which the differentiation rule was already derived back in 20.4.
После шага 2 получается формула для y'/y, а не для y' — это производная ln y, не y. Забыть домножить обе части на y (шаг 3) и оставить ответ в виде y'/y=... или, что ещё хуже, машинально принять правую часть шага 2 за окончательный y', — распространённая ошибка, структурно похожая на Грабли 21.1 (забыть множитель при дифференцировании неявного уравнения): здесь тоже легко потерять множитель на промежуточном шаге и остановиться, не завершив вычисление.After step 2, a formula for y'/y is obtained, not for y' — that's the derivative of \ln y, not of y. Forgetting to multiply both sides by y (step 3) and leaving the answer as y'/y=..., or worse, mechanically mistaking the right side of step 2 for the final y', is a common mistake, structurally similar to the Gotchas in 21.1 (forgetting a factor when differentiating an implicit equation): here too it's easy to lose a factor at an intermediate step and stop before finishing the calculation.
Шаг 1 (ln y = g(x)ln f(x)) требует, чтобы f(x)>0 в рассматриваемой точке — иначе ln f(x) попросту не определён (14.6: область определения логарифма). Для конкретных функций вроде xˣ с x>0 это условие выполняется автоматически и часто не привлекает внимания, но для более общих f(x)^{g(x)} область применимости метода нужно проверять отдельно — там, где f(x)≤0, логарифмическое дифференцирование в этом прямом виде неприменимо, и вопрос о существовании и значении производной требует отдельного анализа (вне рамок этого пункта).Step 1 (\ln y = g(x)\ln f(x)) requires f(x)>0 at the point in question — otherwise \ln f(x) simply isn't defined (14.6: the domain of the logarithm). For specific functions like xˣ with x>0, this condition holds automatically and often goes unnoticed, but for more general f(x)^{g(x)}, the method's range of applicability must be checked separately — where f(x)≤0, logarithmic differentiation in this direct form doesn't apply, and the question of the derivative's existence and value requires separate analysis (beyond the scope of this item).
источникsource
Логарифмическое дифференцирование — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава VI, §22 «Логарифмическое дифференцирование», с. 167–168. Пример 22.1, связь с 14.6/20.4/20.6/21.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Logarithmic differentiation — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter VI, §22 "Logarithmic Differentiation," pp. 167–168. Example 22.1, the connection to 14.6/20.4/20.6/21.1, and the "Gotchas" section, are original additions.