13.1 — Глава V, §13. Множества. Действительные числа13.1 — Chapter V, §13. Sets. Real numbers
Главы I–IV работали с конкретными объектами — векторами, матрицами, точками, кривыми, — почти не называя явно тот язык, на котором эти объекты описывались: «множество решений системы» в 4.2, «множество точек» в определении линии (10.1). Глава V делает этот язык явным предметом изучения, прежде чем перейти к пределам и производным, для которых теория множеств — не украшение, а необходимый словарь (например, чтобы точно сказать, что такое «окрестность точки», см. 13.3).Chapters I–IV worked with concrete objects — vectors, matrices, points, curves — almost never explicitly naming the language those objects were described in: "the solution set of a system" in 4.2, "a set of points" in the definition of a curve (10.1). Chapter V makes this language an explicit subject of study before moving on to limits and derivatives, for which set theory isn't decoration but a necessary vocabulary (say, to precisely state what "a neighborhood of a point" means, see 13.3).
Множество — одно из основных неопределяемых понятий математики (как «точка» и «прямая» в геометрии): интуитивно это совокупность (набор, собрание) некоторых объектов, называемых элементами множества. Множества обозначают заглавными латинскими буквами (A, B, X, ...), их элементы — строчными (a, b, x, ...). Запись x ∈ A означает «x — элемент множества A» (принадлежит), запись x ∉ A — «x не является элементом A».A set is one of the basic undefined concepts of mathematics (like "point" and "line" in geometry): intuitively, it's a collection of certain objects, called the elements of the set. Sets are denoted by capital Latin letters (A, B, X, ...), their elements by lowercase ones (a, b, x, ...). The notation x ∈ A means "x is an element of the set A" (belongs to it), and x ∉ A means "x is not an element of A."
Множество считается заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Два способа задания: перечислением элементов (A = {1, 2, 3}) — годится только для конечных или явно предсказуемых множеств; и указанием характеристического свойства (A = {x | P(x)}, читается «множество всех x, обладающих свойством P») — единственный способ задать бесконечное множество без перечисления, например A = {x | x² < 4}.A set is considered defined if, for any object, one can say whether it belongs to that set or not. Two ways to define one: by enumerating the elements (A = {1, 2, 3}) — works only for finite or explicitly predictable sets; and by stating a characteristic property (A = {x | P(x)}, read "the set of all x possessing property P") — the only way to define an infinite set without enumeration, say A = {x | x² < 4}.
Именно второй способ уже неявно использовался всюду в Главах III–IV: запись F(x;y)=0 для линии (10.1) — это в точности характеристическое свойство P(x,y) = "F(x;y)=0", а сама линия — множество {(x;y) | F(x;y)=0}. То, что там называлось «уравнением линии», здесь получает точное имя: линия — это множество, заданное характеристическим свойством.It's exactly this second way that was already implicitly used throughout Chapters III–IV: the notation F(x;y)=0 for a curve (10.1) is precisely the characteristic property P(x,y) = "F(x;y)=0", and the curve itself is the set {(x;y) | F(x;y)=0}. What was called "the equation of a curve" there gets a precise name here: a curve is a set defined by a characteristic property.
Множество B называется подмножеством множества A (обозначается B ⊆ A), если каждый элемент множества B является элементом множества A.A set B is called a subset of a set A (denoted B ⊆ A) if every element of B is an element of A.
Множества A и B называются равными (A = B), если A ⊆ B и B ⊆ A одновременно, т. е. они состоят из одних и тех же элементов.Sets A and B are called equal (A = B) if A ⊆ B and B ⊆ A simultaneously, i.e. they consist of exactly the same elements.
Определение равенства через двойное включение — не формальность, а рабочий метод доказательства: чтобы показать A=B, на практике почти всегда доказывают A⊆B и B⊆A отдельно, а не пытаются напрямую сравнить два способа описания множества. Это уже встречалось неявно в 10.1: «уравнение линии» требовало обеих проверок (точка на линии удовлетворяет уравнению, и наоборот) — та же логика двух включений, просто применённая к конкретному множеству точек.Defining equality via double inclusion isn't a formality but a working proof method: to show A=B, in practice one almost always proves A⊆B and B⊆A separately, rather than trying to directly compare two descriptions of a set. This already appeared implicitly in 10.1: "the equation of a curve" required both checks (a point on the curve satisfies the equation, and conversely) — the same double-inclusion logic, just applied to a specific set of points.
Пустое множество ∅ — множество, не содержащее ни одного элемента; по определению ∅ ⊆ A для любого множества A (условие «каждый элемент ∅ принадлежит A» выполняется автоматически, поскольку у ∅ элементов нет — так называемая пустая истинность).The empty set ∅ is the set containing no elements; by definition ∅ ⊆ A for any set A (the condition "every element of ∅ belongs to A" holds automatically, since ∅ has no elements — so-called vacuous truth).
| операцияoperation | обозначениеnotation | определениеdefinition |
|---|---|---|
| объединениеunion | A ∪ B | {x | x∈A илиor x∈B} |
| пересечениеintersection | A ∩ B | {x | x∈A иand x∈B} |
| разностьdifference | A \ B | {x | x∈A иand x∉B} |
| дополнение (в универсуме U)complement (in a universe U) | A' илиor Ā | U \ A |
Эти четыре операции — прямой аналог, только на более базовом уровне абстракции, тех же операций «объединение решений» и «пересечение решений», что уже неявно происходили в 12.1 при описании линии как пересечения двух поверхностей ({F1=0} ∩ {F2=0}) — там пересечение множеств использовалось для геометрического объекта, здесь оно определяется для множеств произвольной природы.These four operations are a direct analogue, just at a more basic level of abstraction, of the same "union of solutions" and "intersection of solutions" operations already implicitly at work in 12.1 when describing a curve as the intersection of two surfaces ({F1=0} ∩ {F2=0}) — there, the intersection of sets was used for a geometric object; here it's defined for sets of arbitrary nature.
Множества A и B называются непересекающимися, если A ∩ B = ∅. Операции объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны (как сложение и умножение чисел), что позволяет писать A∪B∪C и A∩B∩C без скобок — структурное сходство с алгебраическими операциями не случайно и будет использовано ниже, при описании числовых множеств как результата последовательных расширений (13.2).Sets A and B are called disjoint if A ∩ B = ∅. Union and intersection are commutative and associative (like addition and multiplication of numbers), which allows writing A∪B∪C and A∩B∩C without parentheses — the structural resemblance to algebraic operations isn't accidental and will be used below, when describing number sets as the result of successive extensions (13.2).
x ∈ A связывает элемент с множеством, B ⊆ A связывает два множества между собой. Путаница возникает, когда элемент сам является множеством: если A = {1, {2,3}}, то {2,3} ∈ A (верно — {2,3} один из двух элементов A), но {2,3} ⊆ A неверно (элементы 2 и 3 по отдельности не входят в A). Различение этих двух отношений — не педантизм, а необходимое условие корректной работы с множествами множеств, которые появятся уже в 13.2 (числовые множества как множества, содержащие другие числовые множества).x ∈ A relates an element to a set, B ⊆ A relates two sets to each other. Confusion arises when an element is itself a set: if A = {1, {2,3}}, then {2,3} ∈ A (true — {2,3} is one of A's two elements), but {2,3} ⊆ A is false (the elements 2 and 3 individually aren't in A). Distinguishing these two relations isn't pedantry — it's a necessary condition for correctly working with sets of sets, which will appear already in 13.2 (number sets as sets containing other number sets).
В отличие от объединения и пересечения, разность множеств не симметрична: A \ B — это элементы A, не входящие в B, а B \ A — наоборот. Для A={1,2,3}, B={2,3,4}: A\B={1}, но B\A={4} — два разных множества. Автоматически переносить свойства коммутативности с объединения/пересечения на разность — источник ошибок при доказательстве тождеств с множествами.Unlike union and intersection, set difference isn't symmetric: A \ B is the elements of A not in B, while B \ A is the reverse. For A={1,2,3}, B={2,3,4}: A\B={1}, but B\A={4} — two different sets. Automatically carrying over commutativity from union/intersection to difference is a source of errors when proving identities involving sets.
источникsource
Понятие множества, подмножество, равенство множеств, операции над множествами — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава V, §13.1 «Основные понятия», с. 116–117. Связь с 10.1 и 12.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The concept of a set, subset, equality of sets, operations on sets — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter V, §13.1 "Basic Concepts," pp. 116–117. The connection to 10.1 and 12.1, and the "Gotchas" section, are original additions.