12.9 — Глава IV, §12. Аналитическая геометрия в пространстве12.9 — Chapter IV, §12. Analytic geometry in space
Последний пункт §12 закрывает Главу IV тем же способом, каким 11.1–11.6 закрывали Главу III: полный список канонических форм и метод их исследования. Здесь этот метод — метод сечений: понять форму сложной трёхмерной поверхности, разрезая её плоскостями x=const, y=const, z=const и изучая получившиеся плоские кривые — все они уже знакомы из §11.The last item of §12 closes Chapter IV the same way 11.1–11.6 closed Chapter III: a complete list of canonical forms and a method for investigating them. Here that method is the method of cross-sections: understand the shape of a complex three-dimensional surface by slicing it with the planes x=const, y=const, z=const and studying the resulting plane curves — all of them already familiar from §11.
Прямо представить себе трёхмерную поверхность по одному уравнению сложно — но можно систематически исследовать её, фиксируя одну координату и получая плоскую кривую от двух оставшихся, уже описанную в §11. Например, при z=c0 (сечение горизонтальной плоскостью) уравнение поверхности превращается в уравнение с двумя переменными x,y и одним параметром c0 — это ровно то же F(x;y)=0 из §10–11, только с коэффициентами, зависящими от высоты сечения.Directly picturing a three-dimensional surface from a single equation is hard — but it can be systematically investigated by fixing one coordinate and obtaining a plane curve in the remaining two, already described in §11. For instance, at z=c0 (a horizontal-plane cross-section), the surface's equation turns into an equation in the two variables x,y with one parameter c0 — exactly the same F(x;y)=0 from §10–11, just with coefficients depending on the height of the section.
x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. (12.16)Сечение плоскостью z=c0 (при |c0|<c): x²/(a²(1-c0²/c²)) + y²/(b²(1-c0²/c²)) = 1 — эллипс (11.4), сжимающийся до точки при c0→±c. Поверхность ограничена (лежит внутри прямоугольного параллелепипеда |x|≤a,|y|≤b,|z|≤c) — прямое обобщение ограниченности эллипса из 11.3. При a=b=c уравнение (12.16) превращается в x²+y²+z²=a² — сферу, пространственный аналог окружности (11.2), тот же предельный случай эллипса, что уже отмечался в 11.3.A cross-section by z=c0 (for |c0|<c): x²/(a²(1-c0²/c²)) + y²/(b²(1-c0²/c²)) = 1 — an ellipse (11.4), shrinking to a point as c0→±c. The surface is bounded (lies inside the rectangular box |x|≤a,|y|≤b,|z|≤c) — a direct generalization of the ellipse's boundedness from 11.3. When a=b=c, equation (12.16) becomes x²+y²+z²=a² — a sphere, the spatial analogue of the circle (11.2), the same limiting case of the ellipse already noted in 11.3.
x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1. (12.17, однополостный)Сечение z=c0: x²/(a²(1+c0²/c²)) + y²/(b²(1+c0²/c²)) = 1 — эллипс при любом c0 (в отличие от эллипсоида, здесь коэффициент 1+c0²/c² никогда не обращается в ноль или отрицательное число), радиус которого растёт с ростом |c0|. Сечение y=0: x²/a² - z²/c² = 1 — гипербола (11.6). Поверхность состоит из одной связной "трубы", уходящей в бесконечность в обе стороны вдоль оси Oz, отсюда «однополостный».Cross-section z=c0: x²/(a²(1+c0²/c²)) + y²/(b²(1+c0²/c²)) = 1 — an ellipse for any c0 (unlike the ellipsoid, here the coefficient 1+c0²/c² never becomes zero or negative), whose radius grows with |c0|. Cross-section y=0: x²/a² - z²/c² = 1 — a hyperbola (11.6). The surface consists of a single connected "tube," extending to infinity in both directions along the axis Oz — hence "one-sheeted."
x²/a² + y²/b² - z²/c² = -1. (12.18, двуполостный)Тот же вид уравнения с правой частью -1 вместо 1 — но эта смена знака полностью меняет форму. Сечение z=c0: x²/(a²(c0²/c²-1)) + y²/(b²(c0²/c²-1)) = 1 — эллипс существует только при |c0|≥c (иначе коэффициент отрицателен, решений нет). Поверхность распадается на две отдельные несвязные "чаши" — при z≥c и при z≤-c — отсюда «двуполостный». Разница знака перед 1 в (12.17)-(12.18) — тот же класс явления, что разница знака перед y²/b² в эллипсе/гиперболе (11.4 vs 11.6): минимальное алгебраическое изменение, кардинально меняющее геометрию.The same equation form with the right-hand side -1 instead of 1 — but this sign change completely alters the shape. Cross-section z=c0: x²/(a²(c0²/c²-1)) + y²/(b²(c0²/c²-1)) = 1 — an ellipse exists only for |c0|≥c (otherwise the coefficient is negative, no solutions). The surface splits into two separate, disconnected "bowls" — at z≥c and at z≤-c — hence "two-sheeted." The sign difference in front of 1 in (12.17)-(12.18) is the same class of phenomenon as the sign difference in front of y²/b² in the ellipse/hyperbola (11.4 vs 11.6): a minimal algebraic change that radically alters the geometry.
Рис. 43. Однополостный гиперболоид: "талия" (перехват) в среднем сечении, единая связная поверхностьFig. 43. A one-sheeted hyperboloid: a "waist" at the middle cross-section, a single connected surface
x²/a² + y²/b² = 2z. (12.19, эллиптический)Сечение z=c0 (при c0>0): x²/(2a²c0) + y²/(2b²c0) = 1 — эллипс, растущий с ростом c0; при c0<0 решений нет — поверхность лежит целиком в полупространстве z≥0 (как парабола 11.5 лежала целиком в x≥0). Сечение y=0: x²/a²=2z — парабола (11.9). Название «параболоид» отражает именно эти вертикальные сечения.Cross-section z=c0 (for c0>0): x²/(2a²c0) + y²/(2b²c0) = 1 — an ellipse growing with c0; for c0<0 there are no solutions — the surface lies entirely in the half-space z≥0 (just as the parabola from 11.5 lay entirely in x≥0). Cross-section y=0: x²/a²=2z — a parabola (11.9). The name "paraboloid" reflects exactly these vertical cross-sections.
x²/a² - y²/b² = 2z. (12.20, гиперболический)Сечение z=c0≠0: x²/(2a²c0) - y²/(2b²c0) = 1 — гипербола (11.6) при любом знаке c0 (только меняются местами оси, вдоль которых гипербола "открывается"). Сечение y=0: x²/a²=2z — парабола, открывающаяся вверх; сечение x=0: -y²/b²=2z, т. е. y²=-2b²z — парабола, открывающаяся вниз. Эта комбинация (одно сечение вверх, другое вниз) даёт характерную седловидную форму, за которую эту поверхность называют «гиперболический параболоид» или «седло».Cross-section z=c0≠0: x²/(2a²c0) - y²/(2b²c0) = 1 — a hyperbola (11.6) for either sign of c0 (only the axes along which the hyperbola "opens" swap). Cross-section y=0: x²/a²=2z — a parabola opening upward; cross-section x=0: -y²/b²=2z, i.e. y²=-2b²z — a parabola opening downward. This combination (one cross-section up, another down) gives the characteristic saddle shape, for which this surface is called a "hyperbolic paraboloid" or "saddle."
| поверхностьsurface | уравнениеequation | формаshape |
|---|---|---|
| эллипсоидellipsoid | x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 | ограничена; сфера при a=b=cbounded; a sphere when a=b=c |
| однополостный гиперболоидone-sheeted hyperboloid | x²/a²+y²/b²-z²/c²=1 | одна связная поверхность-трубаa single connected tube-like surface |
| двуполостный гиперболоидtwo-sheeted hyperboloid | x²/a²+y²/b²-z²/c²=-1 | две отдельные несвязные чашиtwo separate, disconnected bowls |
| эллиптический параболоидelliptic paraboloid | x²/a²+y²/b²=2z | чаша, ограниченная снизуa bowl, bounded below |
| гиперболический параболоидhyperbolic paraboloid | x²/a²-y²/b²=2z | седлоa saddle |
| конусcone | x²/a²+y²/a²-z²/c²=0 | две "воронки" с общей вершиной (см. 12.8)two "funnels" sharing one vertex (see 12.8) |
Обратите внимание на закономерность: конус (12.15 из 12.8) — это в точности предельный случай между однополостным и двуполостным гиперболоидом, когда правая часть уравнения (12.17)/(12.18) обращается из ±1 в 0 — та же самая логика непрерывного перехода через вырожденный случай, что уже встречалась в 11.6 при обсуждении дискриминанта B²-4AC на плоскости, только на измерение выше.Notice the pattern: the cone (12.15 from 12.8) is exactly the limiting case between the one-sheeted and two-sheeted hyperboloid, when the right-hand side of equation (12.17)/(12.18) turns from ±1 into 0 — the same continuous-transition-through-a-degenerate-case logic already seen in 11.6 when discussing the discriminant B²-4AC in the plane, just one dimension up.
Уравнения (12.17) и (12.18) отличаются только знаком правой части (+1 vs -1), но задают геометрически совершенно разные поверхности — одну связную и одну из двух частей. Механически «подставить минус» без проверки, какая переменная при этом остаётся связывающей форму сечения, — источник ошибок: важно не просто изменить знак, а заново проследить, при каких значениях выделенной переменной (здесь z) сечение вообще существует.Equations (12.17) and (12.18) differ only in the sign of the right-hand side (+1 vs -1), but define geometrically completely different surfaces — one connected, one made of two pieces. Mechanically "flipping the sign" without checking which variable ends up governing the cross-section's existence is a source of errors: what matters isn't just changing the sign, but re-tracing for which values of the singled-out variable (here z) a cross-section exists at all.
В отличие от эллиптического параболоида (12.19), где сечения z=const — всегда эллипсы, у гиперболического параболоида (12.20) сечения z=const — это всегда гиперболы (кроме z=0, где получаются две пересекающиеся прямые, вырожденный случай), не эллипсы. Ожидать «чашеобразную», ограниченную форму от уравнения, внешне похожего на (12.19), но со знаком минус, — ошибка: минус превращает и форму горизонтальных сечений, не только «направление раскрытия».Unlike the elliptic paraboloid (12.19), where the z=const cross-sections are always ellipses, the hyperbolic paraboloid's (12.20) z=const cross-sections are always hyperbolas (except at z=0, which gives two intersecting lines, a degenerate case), not ellipses. Expecting a "bowl-shaped," bounded form from an equation that looks superficially like (12.19) but with a minus sign is a mistake: the minus sign transforms the shape of the horizontal cross-sections too, not just "which way it opens."
источникsource
Метод сечений, канонические уравнения эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов (формулы 12.16–12.20) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава IV, §12.9 «Канонические уравнения поверхностей второго порядка», с. 109–112. Сводная таблица, связь конуса с гиперболоидами и §11, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The method of cross-sections, the canonical equations of the ellipsoid, hyperboloids, paraboloids (formulas 12.16–12.20) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter IV, §12.9 "Canonical Equations of Second-Order Surfaces," pp. 109–112. The summary table, the connection of the cone to the hyperboloids and §11, and the "Gotchas" section are original additions.