12.8 — Глава IV, §12. Аналитическая геометрия в пространстве12.8 — Chapter IV, §12. Analytic geometry in space
12.7 строила поверхность из плоской линии параллельным переносом прямой вдоль неё. Здесь — второй способ построения: вращением плоской линии вокруг оси. Это не просто ещё один частный вид поверхности — правило получения уравнения вращением оказывается алгоритмом, применимым к любой линии, а конус — его самый важный частный случай, необходимый уже в следующем параграфе для классификации поверхностей второго порядка.12.7 built a surface from a plane curve by parallel-translating a line along it. Here — a second construction method: rotating a plane curve around an axis. This isn't just one more special kind of surface — the rule for obtaining an equation via rotation turns out to be an algorithm applicable to any curve, and the cone is its most important special case, needed already in the next section for classifying second-order surfaces.
Пусть линия F(y;z)=0 лежит в плоскости Oyz. При вращении этой линии вокруг оси Oz каждая её точка (0;y0;z0) описывает окружность радиуса |y0| в плоскости, перпендикулярной Oz на высоте z0. Произвольная точка M(x;y;z) результирующей поверхности лежит на такой окружности тогда и только тогда, когда √(x²+y²) = |y0| для некоторой точки исходной линии на той же высоте z=z0.Let the curve F(y;z)=0 lie in the plane Oyz. Rotating this curve about the axis Oz, each of its points (0;y0;z0) traces a circle of radius |y0| in the plane perpendicular to Oz at height z0. An arbitrary point M(x;y;z) of the resulting surface lies on such a circle if and only if √(x²+y²) = |y0| for some point of the original curve at the same height z=z0.
Уравнение поверхности, полученной вращением линии F(y;z)=0 вокруг оси Oz, получается заменой y на ±√(x²+y²) в исходном уравнении:The equation of the surface obtained by rotating the curve F(y;z)=0 about the axis Oz is obtained by replacing y with ±√(x²+y²) in the original equation:
F(±√(x²+y²); z) = 0. (12.14)Идея правила: координата z вдоль оси вращения не меняется при повороте, а координата y, отвечавшая за «расстояние от оси» на исходной плоской линии, заменяется на фактическое расстояние от оси Oz в трёх измерениях — то есть на √(x²+y²) (это в точности проекция радиус-вектора OM на плоскость Oxy, длина которой не зависит от того, в какую сторону в этой плоскости «повернулась» исходная точка). Правило симметрично формулируется для вращения вокруг Ox или Oy — заменяется всегда та переменная, что отвечала за расстояние от оси вращения в исходной плоскости.The idea behind the rule: the coordinate z along the axis of rotation doesn't change under rotation, while the coordinate y, which represented "distance from the axis" on the original plane curve, is replaced by the actual distance from the axis Oz in three dimensions — that is, by √(x²+y²) (exactly the projection of the position vector OM onto the plane Oxy, whose length doesn't depend on which way in that plane the original point "rotated to"). The rule is stated symmetrically for rotation about Ox or Oy — the variable replaced is always the one that represented distance from the axis of rotation in the original plane.
Применим (12.14) к простейшему возможному случаю — вращению прямой, проходящей через начало координат в плоскости Oyz: z = ky (частный случай уравнения с угловым коэффициентом (10.3), примененный здесь к паре осей y,z вместо x,y), т. е. F(y;z) = z - ky = 0. Подставляя y → √(x²+y²):Apply (12.14) to the simplest possible case — rotating a line through the origin in the plane Oyz: z = ky (a special case of the slope-intercept equation (10.3), applied here to the pair of axes y,z instead of x,y), i.e. F(y;z) = z - ky = 0. Substituting y → √(x²+y²):
z = k√(x²+y²), т. е. z² = k²(x²+y²).x²/a² + y²/a² - z²/c² = 0, (12.15)(после переобозначения 1/k² = a²/c²) — коническая поверхность (конус) с вершиной в начале координат и осью Oz.(after relabeling 1/k² = a²/c²) — a conical surface (a cone) with vertex at the origin and axis Oz.
Рис. 42. Конус x²/a²+y²/a²-z²/c²=0: вершина в начале координат, ось OzFig. 42. The cone x²/a²+y²/a²-z²/c²=0: vertex at the origin, axis Oz
Заметьте: конус — не отдельно придуманная фигура, а прямое следствие правила вращения (12.14), применённого к простейшей плоской линии — прямой через начало координат. Уравнение (12.15) однородно относительно x,y,z (все слагаемые второй степени, свободного члена нет) — это алгебраическое отражение того, что коническая поверхность целиком состоит из прямых, проходящих через одну точку (вершину): если точка (x0;y0;z0) удовлетворяет (12.15), то и (tx0;ty0;tz0) удовлетворяет ему при любом t — вся прямая через начало координат и точку на конусе лежит на конусе целиком.Notice: the cone isn't a separately invented shape, but a direct consequence of the rotation rule (12.14) applied to the simplest plane curve — a line through the origin. Equation (12.15) is homogeneous in x,y,z (every term is degree 2, no constant term) — the algebraic reflection of the fact that a conical surface consists entirely of lines through a single point (the vertex): if (x0;y0;z0) satisfies (12.15), so does (tx0;ty0;tz0) for any t — the entire line through the origin and a point on the cone lies on the cone.
Сечение конуса плоскостью, не проходящей через вершину, при разном наклоне секущей плоскости даёт все четыре кривые §11 (эллипс, окружность как частный случай эллипса, гиперболу, параболу) — отсюда и общее название «конические сечения», под которым эти кривые часто фигурируют в геометрии независимо от аналитического подхода §11. Формальная демонстрация этого факта требует техники за пределами данного конспекта, но сама связь — не случайность: конус (12.15) и есть тот самый геометрический объект, чьи плоские сечения исторически и породили определения эллипса, гиперболы, параболы задолго до координатного метода §11.Slicing a cone with a plane not through the vertex, at varying inclinations of the cutting plane, gives all four curves of §11 (ellipse, circle as a special case of the ellipse, hyperbola, parabola) — hence the common name "conic sections," under which these curves often appear in geometry independently of §11's analytic approach. A formal demonstration of this fact requires techniques beyond this outline, but the connection itself isn't a coincidence: the cone (12.15) is exactly the geometric object whose planar cross-sections historically gave rise to the definitions of the ellipse, hyperbola, and parabola long before §11's coordinate method.
Правило (12.14) применимо напрямую только если исходная линия задана в плоскости, содержащей ось вращения (например, Oyz для вращения вокруг Oz). Если линия задана в произвольной плоскости, её сначала нужно привести к такому виду (например, повернуть систему координат, 9.3), прежде чем применять замену — механическая подстановка в уравнение линии, заданной «неправильно», не даёт корректной поверхности вращения.Rule (12.14) applies directly only if the original curve is given in a plane containing the axis of rotation (say, Oyz for rotation about Oz). If the curve is given in an arbitrary plane, it must first be brought into that form (say, by rotating the coordinate system, 9.3) before applying the substitution — mechanically substituting into the equation of a curve given "the wrong way" doesn't yield a correct surface of revolution.
В отличие от кругового цилиндра (12.7), у которого сечение плоскостью z=const — окружность одного и того же радиуса на любой высоте, у конуса (12.15) сечение плоскостью z=c0 — тоже окружность (или эллипс для более общего конуса), но её радиус линейно растёт с |c0| и обращается в точку ровно при c0=0 (в вершине). Путать конус с цилиндром постоянного радиуса — ошибка, разрушающая всю однородность уравнения (12.15), на которой строится и вывод, и связь с коническими сечениями.Unlike a circular cylinder (12.7), whose cross-section by the plane z=const is a circle of the same radius at any height, a cone's (12.15) cross-section by the plane z=c0 is also a circle (or an ellipse for the more general cone), but its radius grows linearly with |c0| and shrinks to a point exactly at c0=0 (the vertex). Confusing a cone with a constant-radius cylinder is a mistake that breaks the very homogeneity of equation (12.15), which both the derivation and the connection to conic sections rely on.
источникsource
Уравнение поверхности вращения (12.14), коническая поверхность как вращение прямой, каноническое уравнение конуса (12.15) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава IV, §12.8 «Поверхности вращения. Конические поверхности», с. 106–108. Связь с коническими сечениями и §11, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The equation of a surface of revolution (12.14), a conical surface as the rotation of a line, the canonical equation of a cone (12.15) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter IV, §12.8 "Surfaces of Revolution. Conical Surfaces," pp. 106–108. The connection to conic sections and §11, and the "Gotchas" section, are original additions.