12.7 — Глава IV, §12. Аналитическая геометрия в пространстве12.7 — Chapter IV, §12. Analytic geometry in space
12.1 предупреждала: уравнение без одной из переменных задаёт не «линию» из старого плоского опыта, а поверхность. Здесь это предупреждение становится точной теоремой: любое уравнение F(x;y)=0 (без z) в пространстве Oxyz задаёт именно цилиндрическую поверхность — и всё богатство линий второго порядка из §11 (окружность, эллипс, гипербола, парабола) возвращается сюда в виде направляющих сечений четырёх типов цилиндров.12.1 warned: an equation missing one of the variables defines not a "curve" from the old flat experience but a surface. Here that warning becomes a precise theorem: any equation F(x;y)=0 (with no z) in the space Oxyz defines specifically a cylindrical surface — and the whole richness of second-order curves from §11 (circle, ellipse, hyperbola, parabola) returns here as the cross-sections of four types of cylinders.
Цилиндрической поверхностью (или просто цилиндром) называется поверхность, образованная движением прямой (называемой образующей) параллельно самой себе вдоль некоторой линии (называемой направляющей).A cylindrical surface (or simply a cylinder) is a surface generated by a line (called the generatrix) moving parallel to itself along some curve (called the directrix).
Пусть направляющая — линия F(x;y)=0, лежащая в плоскости Oxy, а образующая параллельна оси Oz. Точка M(x;y;z) лежит на такой цилиндрической поверхности тогда и только тогда, когда точка (x;y;0) (проекция M на плоскость Oxy) лежит на направляющей — а это условие вообще не зависит от z. Отсюда:Let the directrix be the curve F(x;y)=0 lying in the plane Oxy, and let the generatrix be parallel to the axis Oz. A point M(x;y;z) lies on such a cylindrical surface if and only if the point (x;y;0) (the projection of M onto the plane Oxy) lies on the directrix — and this condition doesn't depend on z at all. Hence:
Уравнение F(x;y)=0, не содержащее z, в пространстве Oxyz задаёт цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей — линией F(x;y)=0 в плоскости Oxy.The equation F(x;y)=0, containing no z, in the space Oxyz defines a cylindrical surface with generatrices parallel to the axis Oz, and directrix the curve F(x;y)=0 in the plane Oxy.
Это в точности доказательство утверждения, оставленного без обоснования в 12.1: «отсутствие переменной означает не 0, а произвольность» — потому что уравнение не накладывает на z вообще никакого условия, каждому решению (x0;y0) уравнения F(x;y)=0 отвечает целая вертикальная прямая точек (x0;y0;z) при всех z, а объединение всех таких прямых по всем точкам направляющей — это и есть поверхность.This is precisely the proof of the claim left unjustified in 12.1: "a missing variable means not 0 but unconstrained" — because the equation imposes no condition on z at all; each solution (x0;y0) of the equation F(x;y)=0 corresponds to an entire vertical line of points (x0;y0;z) for every z, and the union of all such lines over every point of the directrix is exactly the surface.
Симметрично: уравнение F(y;z)=0 (без x) задаёт цилиндр с образующими вдоль Ox, а F(x;z)=0 (без y) — вдоль Oy. Правило одно и то же для всех трёх координатных осей, различается только тем, какая переменная отсутствует.Symmetrically: the equation F(y;z)=0 (no x) defines a cylinder with generatrices along Ox, and F(x;z)=0 (no y) — along Oy. The rule is the same for all three coordinate axes, differing only in which variable is absent.
Подставляя в роли F(x;y)=0 каждое из четырёх канонических уравнений линий второго порядка из §11, получаем четыре типа цилиндров второго порядка — прямое переиспользование всей работы §11, теперь как направляющих сечений:Substituting each of the four canonical second-order curve equations from §11 in the role of F(x;y)=0 gives four types of second-order cylinders — a direct reuse of all of §11's work, now as directrix cross-sections:
| уравнениеequation | названиеname | направляющая (§11)directrix (§11) |
|---|---|---|
x²/a² + y²/b² = 1 | эллиптический цилиндрelliptic cylinder | эллипс (11.3), при a=b — круговой цилиндрellipse (11.3), a circular cylinder when a=b |
x²/a² - y²/b² = 1 | гиперболический цилиндрhyperbolic cylinder | гипербола (11.4)hyperbola (11.4) |
y² = 2px | параболический цилиндрparabolic cylinder | парабола (11.5)parabola (11.5) |
x² + y² = R² | круговой (прямой круговой) цилиндрcircular (right circular) cylinder | окружность (11.2) — частный случай эллиптического при a=b=Rcircle (11.2) — a special case of the elliptic cylinder with a=b=R |
Рис. 41. Круговой цилиндр x²+y²=R²: направляющая — окружность в Oxy, образующие параллельны OzFig. 41. The circular cylinder x²+y²=R²: the directrix is a circle in Oxy, the generatrices are parallel to Oz
Ни одно из этих четырёх уравнений не является новым алгебраическим объектом — это буквально те же уравнения (11.4), (11.6), (11.9), (11.2), что уже выведены в §11, только теперь интерпретируемые в трёхмерном пространстве Oxyz, а не в двумерной плоскости Oxy. Вся содержательная работа (вывод, эксцентриситет, асимптоты гиперболы) остаётся в силе без изменений — меняется только геометрический смысл того, что происходит с отсутствующей координатой z.None of these four equations is a new algebraic object — they're literally the same equations (11.4), (11.6), (11.9), (11.2) already derived in §11, just now interpreted in three-dimensional space Oxyz rather than the two-dimensional plane Oxy. All the substantive work (the derivation, eccentricity, the hyperbola's asymptotes) carries over unchanged — only the geometric meaning of what happens with the absent coordinate z changes.
В обиходе «цилиндр» почти всегда означает круговой цилиндр (банка, труба). В аналитической геометрии термин шире: любая поверхность, образованная параллельным переносом прямой вдоль произвольной направляющей линии, — цилиндрическая, включая эллиптический, гиперболический и параболический случаи, чья направляющая совсем не окружность. Слыша «цилиндр» в этом параграфе, не следует автоматически представлять именно круговую форму.In everyday usage, "cylinder" almost always means a circular cylinder (a can, a pipe). In analytic geometry the term is broader: any surface formed by parallel-translating a line along an arbitrary directrix curve is cylindrical, including the elliptic, hyperbolic, and parabolic cases, whose directrix isn't a circle at all. On hearing "cylinder" in this section, one shouldn't automatically picture the circular shape.
Легко перепутать направление на глаз: уравнение x²+y²=R² «выглядит» как формула с x и y, и можно ошибочно решить, что образующие идут вдоль одной из этих осей. На самом деле образующие параллельны именно отсутствующей оси (Oz), а присутствующие переменные x, y задают форму сечения, перпендикулярного этой оси. Правило: ищите не то, что написано, а то, чего не хватает.It's easy to misjudge the direction at a glance: the equation x²+y²=R² "looks like" a formula involving x and y, and one might mistakenly conclude the generatrices run along one of those axes. In fact, the generatrices are parallel to exactly the absent axis (Oz), and the present variables x, y set the shape of the cross-section perpendicular to that axis. The rule: look not for what's written, but for what's missing.
источникsource
Определение цилиндрической поверхности, уравнение с одной отсутствующей переменной, четыре классических цилиндра второго порядка — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава IV, §12.7 «Цилиндрические поверхности», с. 104–106. Явная связь с граблями из 12.1 и с каноническими уравнениями §11, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The definition of a cylindrical surface, the equation with one missing variable, the four classical second-order cylinders — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter IV, §12.7 "Cylindrical Surfaces," pp. 104–106. The explicit connection to the gotcha from 12.1 and to §11's canonical equations, and the "Gotchas" section, are original additions.