Уравнения поверхности и линии в пространстве. Основные понятияEquations of a surface and a curve in space. Basic concepts

Прямоугольная система координат в пространстве задаётся тремя взаимно перпендикулярными осями Ox, Oy, Oz с общим началом O и единичными векторами i, j, k — это в точности та конструкция, что уже была введена в 5.4 при разложении вектора по ортам, только здесь она выходит на первый план, как в 9.1 для плоскости. Координаты точки M(x;y;z) — координаты её радиуса-вектора OM = xi + yj + zk.A rectangular coordinate system in space is set up by three mutually perpendicular axes Ox, Oy, Oz with a common origin O and unit vectors i, j, k — this is exactly the construction already introduced in 5.4 when decomposing a vector along the unit vectors, only here it moves to center stage, as it did in 9.1 for the plane. The coordinates of a point M(x;y;z) are the coordinates of its position vector OM = xi + yj + zk.

Три координатные оси, взятые попарно, задают три координатные плоскости: Oxy, Oyz, Oxz. Они делят пространство на восемь частей — октантов (пространственный аналог четвертей/квадрантов из 9.1). Формула расстояния между двумя точками пространства — прямое обобщение формулы (9.2) плоскости добавлением третьего слагаемого под корнем, что уже было явно предсказано в 9.1 («формулы этого параграфа — частный случай формул из Главы II, если убрать координату z», только здесь направление обратное — координата z возвращается):The three coordinate axes, taken pairwise, define three coordinate planes: Oxy, Oyz, Oxz. They divide space into eight parts — octants (the spatial analogue of the quadrants from 9.1). The formula for the distance between two points in space is a direct generalization of formula (9.2) in the plane, by adding a third term under the root — already explicitly foreshadowed in 9.1 ("the formulas in this section are a special case of the formulas from Chapter II, obtained by dropping the coordinate z," only here the direction is reversed — the coordinate z comes back):

d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²).

Это дословное обобщение определения уравнения линии из 10.1 на одну переменную больше — обе половины определения (на поверхности / только на поверхности) переносятся без изменений, включая ту же ловушку с посторонними точками, о которой предупреждала 10.1. Записывают уравнение поверхности как F(x;y;z) = 0 (общий вид) или, если возможно, в разрешённом виде z = f(x;y).This is a word-for-word generalization of the definition of a curve's equation from 10.1, extended by one more variable — both halves of the definition (on the surface / only on the surface) carry over unchanged, including the same trap with extraneous points that 10.1 warned about. A surface's equation is written as F(x;y;z) = 0 (the general form) or, when possible, in the solved form z = f(x;y).

Ключевой сдвиг размерности: линия на плоскости — это множество решений одного уравнения с двумя неизвестными, «съедающего» одну степень свободы (из двумерной плоскости получается одномерная линия). Поверхность в пространстве — тоже множество решений одного уравнения, но теперь с тремя неизвестными: из трёхмерного пространства одно уравнение вырезает двумерный объект. Правило общее: одно уравнение с n неизвестными обычно задаёт объект размерности n-1.The key dimensional shift: a curve in the plane is the solution set of one equation in two unknowns, "consuming" one degree of freedom (a one-dimensional curve results from a two-dimensional plane). A surface in space is likewise the solution set of one equation, but now in three unknowns: from three-dimensional space, one equation carves out a two-dimensional object. The general rule: one equation in n unknowns typically defines an object of dimension n-1.

Если одно уравнение с тремя неизвестными задаёт поверхность (двумерный объект), то линия в пространстве (одномерный объект) требует системы из двух уравнений — та же логика «убывания размерности на единицу за каждое уравнение», применённая дважды:If one equation in three unknowns defines a surface (a two-dimensional object), a curve in space (a one-dimensional object) requires a system of two equations — the same "dimension drops by one per equation" logic, applied twice:

F1(x;y;z) = 0,
F2(x;y;z) = 0.

Геометрически: линия — это пересечение двух поверхностей. Точка принадлежит этой линии тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют обоим уравнениям одновременно — снова та же система «два уравнения = пересечение», что уже встречалась в 10.3 при поиске точки пересечения двух прямых (там пересечение двух одномерных объектов на плоскости давало одну точку — нульмерный объект; здесь пересечение двух двумерных объектов в пространстве даёт одномерную линию — размерность падает так же на 1 при каждом дополнительном уравнении/каждом дополнительном пересечении).Geometrically: a curve is the intersection of two surfaces. A point belongs to this curve if and only if its coordinates satisfy both equations simultaneously — the same "two equations = intersection" pattern already seen in 10.3 when finding the intersection point of two lines (there, the intersection of two one-dimensional objects in the plane gave one point — a zero-dimensional object; here, the intersection of two two-dimensional objects in space gives a one-dimensional curve — the dimension drops by 1 the same way with each additional equation/each additional intersection).

Как и уравнение отдельной линии/поверхности, представление линии парой уравнений не единственно: одна и та же пространственная линия (например, окружность как пересечение сферы и плоскости) может быть получена пересечением бесконечно многих различных пар поверхностей — важно лишь итоговое множество общих точек, а не то, какие именно две поверхности были выбраны для его описания (тот же принцип неединственности, что уже отмечался для F(x;y)=0 в 10.1).Like the equation of a single curve/surface, representing a curve by a pair of equations isn't unique: the same spatial curve (say, a circle as the intersection of a sphere and a plane) can arise from intersecting infinitely many different pairs of surfaces — what matters is only the resulting set of common points, not which two surfaces happened to be chosen to describe it (the same non-uniqueness principle already noted for F(x;y)=0 in 10.1).

Параметрическая форма линии в пространстве — тоже прямое расширение 10.1: тройка непрерывных функций одного параметра t,The parametric form of a curve in space is likewise a direct extension of 10.1: a triple of continuous functions of a single parameter t,

x = x(t),   y = y(t),   z = z(t),

часто оказывается удобнее пары неявных уравнений — особенно для линий, у которых естественно выделяется «направление движения» (например, винтовая линия), а не только статическое множество точек.is often more convenient than a pair of implicit equations — especially for curves with a natural "direction of travel" (say, a helix), rather than just a static set of points.