Уравнения плоскости в пространствеEquations of a plane in space

Пусть плоскость проходит через точку M0(x0;y0;z0) и имеет нормальный вектор n = (A;B;C) — вектор, перпендикулярный этой плоскости. Возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z). Вектор M0M = (x-x0; y-y0; z-z0) лежит в самой плоскости, значит перпендикулярен n. Условие ортогональности (6.1) — нулевое скалярное произведение:Let a plane pass through the point M0(x0;y0;z0) and have normal vector n = (A;B;C) — a vector perpendicular to this plane. Take an arbitrary point M(x;y;z) on the plane. The vector M0M = (x-x0; y-y0; z-z0) lies in the plane itself, hence is perpendicular to n. The orthogonality condition (6.1) — a zero dot product:

n · M0M = 0,   т. е.   A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0.   (12.1)

Раскрыв скобки:Expanding the brackets:

Ax + By + Cz + D = 0,   где   D = -Ax0 - By0 - Cz0.   (12.2)

Сопоставление с 10.2 буквальное: там (10.2) — Ax+By+C=0 с нормалью (A;B), здесь (12.2) — Ax+By+Cz+D=0 с нормалью (A;B;C). Свободный член сменил букву (C→D) просто чтобы не путаться с координатой C нормали — по существу это то же самое -n·M0 в обоих случаях.The comparison with 10.2 is literal: there (10.2) — Ax+By+C=0 with normal (A;B), here (12.2) — Ax+By+Cz+D=0 with normal (A;B;C). The constant term changed its letter (C→D) simply to avoid clashing with the normal's coordinate C — in essence it's the same -n·M0 in both cases.

Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2), M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой. Точка M(x;y;z) лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда три вектора M1M, M1M2, M1M3 компланарны — а условие компланарности трёх векторов (8.2) есть равенство нулю их смешанного произведения:Let a plane pass through three points M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2), M3(x3;y3;z3), not collinear. A point M(x;y;z) lies in this plane if and only if the three vectors M1M, M1M2, M1M3 are coplanar — and the condition for three vectors to be coplanar (8.2) is that their scalar triple product vanishes:

| x-x1   y-y1   z-z1 |
| x2-x1  y2-y1  z2-z1 | = 0.   (12.3)
| x3-x1  y3-y1  z3-z1 |

Это прямое трёхмерное продолжение формулы площади треугольника из 9.2 (там нулевой определитель 2×2 означал «три точки на одной прямой») и формулы объёма параллелепипеда из 8.1 (нулевой определитель 3×3 — компланарность): здесь тот же определитель 3×3, но интерпретируется не как объём, а как критерий «четвёртая точка лежит в плоскости первых трёх». Раскрыв определитель (12.3) по первой строке, получаем уравнение вида (12.2) с явными коэффициентами, вычисленными через миноры этого определителя.This is a direct three-dimensional continuation of the triangle-area formula from 9.2 (there, a zero 2×2 determinant meant "three points on one line") and the parallelepiped-volume formula from 8.1 (a zero 3×3 determinant — coplanarity): here the same 3×3 determinant appears, but interpreted not as a volume but as the criterion "the fourth point lies in the plane of the first three." Expanding determinant (12.3) along the first row gives an equation of the form (12.2) with explicit coefficients computed through this determinant's minors.

Если в общем уравнении (12.2) все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля, его можно привести к виду, полностью аналогичному (10.4):If in the general equation (12.2) all the coefficients A, B, C, D are nonzero, it can be reduced to a form fully analogous to (10.4):

x/a + y/b + z/c = 1.   (12.4)

Как и в 10.2, эта форма удобна для быстрого построения плоскости по чертежу — три точки (a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) однозначно задают треугольник, лежащий в этой плоскости внутри первого октанта. И, как и в 10.2, эта форма не работает, если плоскость проходит через начало координат или параллельна одной из осей — та же оговорка, только с тремя осями вместо двух (см. Грабли).As in 10.2, this form is convenient for quickly plotting a plane from its equation — the three points (a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) uniquely define a triangle lying in this plane within the first octant. And, as in 10.2, this form fails if the plane passes through the origin or is parallel to one of the axes — the same caveat, just with three axes instead of two (see Gotchas).

Пусть две плоскости заданы уравнениями (12.2) с нормалями n1=(A1;B1;C1) и n2=(A2;B2;C2). Угол φ между плоскостями равен углу между их нормалями (или его дополнению до π) — вычисляется через косинус угла между векторами (6.3):Let two planes be given by equations (12.2) with normals n1=(A1;B1;C1) and n2=(A2;B2;C2). The angle φ between the planes equals the angle between their normals (or its supplement to π) — computed via the cosine-of-angle-between-vectors formula (6.3):

cos φ = |n1 · n2| / (|n1|·|n2|) = |A1A2+B1B2+C1C2| / (√(A1²+B1²+C1²)·√(A2²+B2²+C2²)).   (12.5)

Обратите внимание на структурную инверсию по сравнению с 10.2: там условие перпендикулярности прямых означало коллинеарность их нормалей (перпендикулярные прямые — параллельные нормали), а здесь условие параллельности плоскостей означает коллинеарность их нормалей напрямую (параллельные плоскости — параллельные нормали, без инверсии). Разница в том, что нормаль прямой на плоскости определяет направление, перпендикулярное самой прямой (1 измерение из 2), тогда как нормаль плоскости в пространстве однозначно определяет саму плоскость (2 измерения из 3 «зафиксированы» одним перпендикулярным направлением) — поэтому «параллельные нормали» напрямую означают «параллельные плоскости», без обращения логики.Notice the structural inversion compared to 10.2: there, the condition for lines to be perpendicular meant their normals were collinear (perpendicular lines — parallel normals), while here, the condition for planes to be parallel means their normals are collinear directly (parallel planes — parallel normals, no inversion). The difference is that a line's normal in the plane determines a direction perpendicular to the line itself (1 dimension out of 2), whereas a plane's normal in space uniquely determines the plane itself (2 dimensions out of 3 are "pinned down" by one perpendicular direction) — so "parallel normals" directly means "parallel planes," with no reversal of logic.