Уравнения прямой на плоскостиEquations of a line in the plane

Пусть на плоскости Oxy дана произвольная прямая. Её положение вполне определяется заданием какой-либо точки M0(x0;y0) на ней и вектора n = (A;B), перпендикулярного этой прямой.Let an arbitrary line be given in the plane Oxy. Its position is fully determined by specifying some point M0(x0;y0) on it and a vector n = (A;B) perpendicular to the line.

Возьмём на прямой произвольную точку M(x;y). Тогда вектор M0M = (x-x0; y-y0) лежит на самой прямой, а значит перпендикулярен нормали n. Условие перпендикулярности двух векторов — это в точности обращение в нуль их скалярного произведения (см. 6.1, свойство ортогональности):Take an arbitrary point M(x;y) on the line. Then the vector M0M = (x-x0; y-y0) lies on the line itself, and hence is perpendicular to the normal n. The condition for two vectors to be perpendicular is exactly that their dot product vanishes (see 6.1, the orthogonality property):

n · M0M = 0,   т. е.   A(x - x0) + B(y - y0) = 0.   (10.1)

Уравнение (10.1) называется уравнением прямой, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору n. Раскрыв скобки, получаемEquation (10.1) is called the equation of the line passing through the point M0 perpendicular to the vector n. Expanding the brackets, we obtain

Ax + By + C = 0,   где   C = -Ax0 - By0.   (10.2)

Это первый пример прямой задачи из 10.1, доведённый до конца: геометрическое условие («точка лежит на прямой с данной нормалью») напрямую переведено в алгебраическое уравнение через скалярное произведение из 6.1. Заметьте: коэффициенты уравнения прямой — не произвольные числа, а буквально координаты вполне конкретного вектора, что и объясняет, почему по одному только виду уравнения (10.2) сразу видно направление нормали, без дополнительных вычислений.This is the first example of the direct problem from 10.1 carried through to the end: a geometric condition ("a point lies on the line with a given normal") is translated directly into an algebraic equation via the dot product from 6.1. Notice: the coefficients of the line's equation aren't arbitrary numbers, but literally the coordinates of a perfectly specific vector, which is exactly why the direction of the normal is visible at a glance from the form of equation (10.2), with no extra computation.

Пусть общее уравнение (10.2) задаёт прямую, не параллельную оси Oy, т. е. B ≠ 0. Тогда его можно разрешить относительно y:Let the general equation (10.2) define a line not parallel to the axis Oy, i.e. B ≠ 0. Then it can be solved for y:

y = kx + b,   где   k = -A/B,   b = -C/B.   (10.3)

Прямая, параллельная оси Oy (B = 0), углового коэффициента не имеет: у неё α = π/2, а tg(π/2) не определён. Такая прямая задаётся уравнением x = a — частным случаем общего уравнения (10.2) при B = 0, не сводимым к виду (10.3). Это первое напоминание, что «уравнение с угловым коэффициентом» — не универсальная форма, а частный случай общего уравнения, работающий не всегда (см. Грабли).A line parallel to the axis Oy (B = 0) has no slope: for it, α = π/2, and tg(π/2) is undefined. Such a line is given by the equation x = a — a special case of the general equation (10.2) with B = 0, not reducible to form (10.3). This is the first reminder that "the equation with a slope" isn't a universal form but a special case of the general equation that doesn't always apply (see Gotchas).

Пусть в общем уравнении (10.2) C ≠ 0. Перенесём C в правую часть и разделим обе части на -C:Let C ≠ 0 in the general equation (10.2). Move C to the right-hand side and divide both sides by -C:

x/a + y/b = 1,   где   a = -C/A,   b = -C/B.   (10.4)

Эта форма особенно удобна для быстрого построения прямой по чертежу: достаточно отметить две точки (a;0) и (0;b) и соединить их — никаких вычислений сверх того, что уже дано коэффициентами уравнения. Уравнение в отрезках не работает, если прямая проходит через начало координат (C = 0, тогда отсекать нечего) или параллельна одной из осей (тогда одного из отрезков не существует — прямая, параллельная Ox, никогда не пересекает Ox, кроме вырожденного случая совпадения).This form is especially convenient for quickly plotting a line from its equation: it suffices to mark the two points (a;0) and (0;b) and join them — no computation beyond what the equation's coefficients already give. The intercept form doesn't work if the line passes through the origin (C = 0, so there's nothing to cut off) or is parallel to one of the axes (then one of the intercepts doesn't exist — a line parallel to Ox never crosses Ox, except in the degenerate case of coincidence).

Прямую можно задать не только нормалью, но и направляющим вектором — вектором, лежащим на прямой или ей параллельным. Пусть M0(x0;y0) — точка на прямой, s = (m;n) — её направляющий вектор.A line can be specified not only by a normal but also by a direction vector — a vector lying on the line or parallel to it. Let M0(x0;y0) be a point on the line and s = (m;n) its direction vector.

Точка M(x;y) лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда вектор M0M = (x-x0; y-y0) коллинеарен s. Условие коллинеарности двух векторов (см. 7.2) — пропорциональность их координат:A point M(x;y) lies on this line if and only if the vector M0M = (x-x0; y-y0) is collinear with s. The condition for two vectors to be collinear (see 7.2) is that their coordinates are proportional:

(x - x0)/m = (y - y0)/n.   (10.5)

Введя параметр t, равный общему значению этих двух дробей, получаем параметрические уравнения прямой — частный случай общих параметрических уравнений линии из 10.1, но с линейными функциями параметра:Introducing a parameter t, equal to the common value of these two ratios, gives the parametric equations of a line — a special case of the general parametric equations of a curve from 10.1, but with linear functions of the parameter:

x = x0 + mt,   y = y0 + nt,   t ∈ ℝ.   (10.6)

Каноническое уравнение (10.5) записано как пропорция, а не как явное равенство, именно из-за коллинеарности: она в точности означает «отношение соответствующих координат постоянно» (7.2), и это единственный способ выразить «параллельность направлению s» без деления на возможный нуль, если m или n равны нулю — формально запись /0 в этом контексте читается не как деление, а как условие «числитель тоже равен нулю» (см. Грабли).The canonical equation (10.5) is written as a proportion rather than an explicit equality precisely because of collinearity: it means exactly "the ratio of corresponding coordinates is constant" (7.2), and it's the only way to express "parallel to the direction s" without dividing by a possible zero, if m or n is zero — formally, the notation /0 in this context is read not as division but as the condition "the numerator is also zero" (see Gotchas).

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y = k2x + b2. Угол φ между ними (угол, на который нужно повернуть первую прямую вокруг точки пересечения против часовой стрелки до совмещения со второй) выражается формулойLet two lines be given by the slope-intercept equations y = k1x + b1 and y = k2x + b2. The angle φ between them (the angle by which the first line must be rotated counterclockwise about the intersection point to coincide with the second) is given by

tg φ = (k2 - k1) / (1 + k1·k2).   (10.7)

Условие перпендикулярности прямых через угловые коэффициенты — не новый факт, а переформулировка того же условия ортогональности (6.1), что уже дало общее уравнение (10.1): если n1 = (A1;B1) и n2 = (A2;B2) — нормали двух прямых, перпендикулярность самих прямых равносильна коллинеарности их нормалей (7.2: n1 ∥ n2), а параллельность прямых — перпендикулярности нормалей (n1 · n2 = 0). Формула k1·k2 = -1 — это то же самое условие, только выраженное через угловые коэффициенты вместо координат нормали.The perpendicularity condition for lines via slopes isn't a new fact but a restatement of the same orthogonality condition (6.1) that already gave the general equation (10.1): if n1 = (A1;B1) and n2 = (A2;B2) are the normals of two lines, the lines being perpendicular is equivalent to their normals being collinear (7.2: n1 ∥ n2), and the lines being parallel is equivalent to their normals being perpendicular (n1 · n2 = 0). The formula k1·k2 = -1 is the same condition, just expressed through slopes instead of the normal's coordinates.