10.3 — Глава III, §10. Линии на плоскости10.3 — Chapter III, §10. Curves in the plane
Пять форм уравнения прямой из 10.2 были введены абстрактно — здесь они применяются к четырём конкретным, постоянно встречающимся задачам: составить уравнение по точке и направлению, по двум точкам, найти точку пересечения двух прямых, найти расстояние от точки до прямой. Это последний параграф перед переходом к линиям второго порядка (§11), и он не вводит новых понятий — только собирает воедино уже готовый инструментарий.The five forms of a line's equation from 10.2 were introduced abstractly — here they're applied to four concrete, constantly recurring problems: writing the equation from a point and a direction, from two points, finding the intersection point of two lines, finding the distance from a point to a line. This is the last section before moving on to second-order curves (§11), and it introduces no new concepts — it only assembles the toolkit already built.
Пусть прямая проходит через точку M0(x0;y0) и имеет угловой коэффициент k. Уравнение с угловым коэффициентом y = kx+b (10.3) должно выполняться и в точке M0: y0 = kx0+b. Вычитая почленно из первого равенства второе, исключаем неизвестное b:Let a line pass through the point M0(x0;y0) and have slope k. The slope-intercept equation y = kx+b (10.3) must also hold at the point M0: y0 = kx0+b. Subtracting the second equality term by term from the first eliminates the unknown b:
y - y0 = k(x - x0). (10.8)Уравнение (10.8) — не новая формула, а простой приём исключения постоянной b, ровно тот же, что применяется при решении систем линейных уравнений вычитанием (см. метод Гаусса, 4.4): две версии одного и того же уравнения (общая, в точке M0) вычитаются, чтобы убрать неизвестное, общее для обеих.Equation (10.8) isn't a new formula but a simple trick for eliminating the constant b, exactly the same one used when solving systems of linear equations by subtraction (see the Gauss method, 4.4): two versions of the same equation (the general one, and the one at the point M0) are subtracted to remove the unknown common to both.
Пусть прямая проходит через M1(x1;y1) и M2(x2;y2), x1 ≠ x2. Направляющим вектором такой прямой можно взять сам вектор M1M2 = (x2-x1; y2-y1) — подставив его в каноническое уравнение (10.5) с точкой M1 в роли M0, получаемLet a line pass through M1(x1;y1) and M2(x2;y2), x1 ≠ x2. The vector M1M2 = (x2-x1; y2-y1) itself can be taken as the direction vector of such a line — substituting it into the canonical equation (10.5) with the point M1 playing the role of M0, we obtain
(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1). (10.9)Это прямое повторение приёма из 10.2 (каноническое уравнение), только направляющий вектор здесь не дан отдельно, а восстановлен из двух точек тем же способом, что и в 9.2 при выводе формулы расстояния между точками: M1M2 = (x2-x1; y2-y1) — уже знакомая формула координат вектора через координаты концов (5.5).This is a direct repetition of the technique from 10.2 (the canonical equation), except the direction vector isn't given separately here but is recovered from two points the same way as in 9.2 when deriving the distance formula between points: M1M2 = (x2-x1; y2-y1) — the already-familiar formula for a vector's coordinates via its endpoints' coordinates (5.5).
Пусть две прямые заданы общими уравнениямиLet two lines be given by their general equations
A1x + B1y + C1 = 0,
A2x + B2y + C2 = 0.Точка их пересечения — это точка, координаты которой одновременно удовлетворяют обоим уравнениям, т. е. решение системы этих двух линейных уравнений. Это прямая связь с Главой I: система из двух уравнений с двумя неизвестными решается методом Крамера (4.3) или методом Гаусса (4.4), и по теореме Кронекера — Капелли (4.2) её разрешимость зависит от рангов основной и расширенной матриц.Their intersection point is the point whose coordinates simultaneously satisfy both equations, i.e. the solution of this system of two linear equations. This is a direct link to Chapter I: a system of two equations in two unknowns is solved by Cramer's rule (4.3) or the Gauss method (4.4), and by the Kronecker–Capelli theorem (4.2) its solvability depends on the ranks of the coefficient matrix and the augmented matrix.
x = -| C1 B1 | / | A1 B1 |, y = -| A1 C1 | / | A1 B1 |
| C2 B2 | | A2 B2 | | A2 C2 | | A2 B2 |Определитель |A1 B1; A2 B2| в знаменателе — это в точности определитель матрицы, составленной из координат нормалей n1 и n2 двух прямых. Если он равен нулю, нормали коллинеарны (7.2), а значит и сами прямые параллельны (см. условие параллельности из 10.2) — система либо не имеет решений (прямые различны и параллельны), либо имеет их бесконечно много (прямые совпадают), что в точности соответствует критерию Кронекера — Капелли для однородного/неоднородного случая, применённому к системе из двух уравнений.The determinant |A1 B1; A2 B2| in the denominator is exactly the determinant of the matrix formed from the coordinates of the two lines' normals n1 and n2. If it's zero, the normals are collinear (7.2), and hence the lines themselves are parallel (see the parallelism condition from 10.2) — the system either has no solutions (the lines are distinct and parallel) or infinitely many (the lines coincide), which corresponds exactly to the Kronecker–Capelli criterion for the homogeneous/inhomogeneous case, applied to a system of two equations.
Пусть прямая задана общим уравнением Ax+By+C=0, а M0(x0;y0) — произвольная точка плоскости, не лежащая на ней. Требуется найти расстояние d от M0 до этой прямой.Let a line be given by the general equation Ax+By+C=0, and let M0(x0;y0) be an arbitrary point of the plane not lying on it. Find the distance d from M0 to this line.
Рис. 32. Расстояние d от точки M0 до прямой — длина перпендикуляра M0M1Fig. 32. The distance d from the point M0 to the line — the length of the perpendicular M0M1
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²). (10.10)Идея вывода: расстояние d — это модуль проекции вектора M1M0 (где M1 — любая точка прямой) на направление нормали n=(A;B). По формуле проекции через скалярное произведение (6.4, приложения скалярного произведения) эта проекция равна (n · M1M0)/|n|, а числитель, после подстановки координат и использования того, что Ax1+By1+C=0 (точка M1 лежит на прямой), сворачивается ровно в Ax0+By0+C. Формула (10.10) — прямое следствие формулы проекции вектора на ось из 5.3/6.4, применённой не абстрактно, а к вектору от прямой до точки.The idea of the derivation: the distance d is the absolute value of the projection of the vector M1M0 (where M1 is any point on the line) onto the direction of the normal n=(A;B). By the projection formula via the dot product (6.4, applications of the dot product), this projection equals (n · M1M0)/|n|, and the numerator, after substituting coordinates and using that Ax1+By1+C=0 (the point M1 lies on the line), collapses exactly to Ax0+By0+C. Formula (10.10) is a direct consequence of the vector-projection-onto-an-axis formula from 5.3/6.4, applied not abstractly but to the vector from the line to the point.
Даны точки A(1;2), B(5;4) и точка M0(3;7). Составить уравнение прямой AB и найти расстояние от точки M0 до неё.Given the points A(1;2), B(5;4) and the point M0(3;7). Write the equation of the line AB and find the distance from the point M0 to it.
Шаг 1 — уравнение прямой по двум точкам (10.9). Подставляем x1=1, y1=2, x2=5, y2=4:Step 1 — the equation of the line through two points (10.9). Substituting x1=1, y1=2, x2=5, y2=4:
(x-1)/(5-1) = (y-2)/(4-2), т. е. (x-1)/4 = (y-2)/2.Шаг 2 — привести к общему уравнению. Умножаем крест-накрест: 2(x-1) = 4(y-2), т. е. 2x - 2 = 4y - 8, откудаStep 2 — reduce to the general equation. Cross-multiplying: 2(x-1) = 4(y-2), i.e. 2x - 2 = 4y - 8, giving
2x - 4y + 6 = 0, т. е. (разделив на 2) x - 2y + 3 = 0.Здесь A=1, B=-2, C=3.Here A=1, B=-2, C=3.
Шаг 3 — проверка на точках A и B. A(1;2): 1 - 2·2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 ✓. B(5;4): 5 - 2·4 + 3 = 5 - 8 + 3 = 0 ✓.Step 3 — check at points A and B. A(1;2): 1 - 2·2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 ✓. B(5;4): 5 - 2·4 + 3 = 5 - 8 + 3 = 0 ✓.
Шаг 4 — расстояние от M0(3;7) по формуле (10.10).Step 4 — the distance from M0(3;7) via formula (10.10).
d = |1·3 + (-2)·7 + 3| / √(1² + (-2)²) = |3 - 14 + 3| / √5 = |-8| / √5 = 8/√5 = 8√5/5.Итак, уравнение прямой AB: x - 2y + 3 = 0, расстояние от M0 до неё: d = 8√5/5 ≈ 3.58.So, the equation of the line AB is x - 2y + 3 = 0, and the distance from M0 to it is d = 8√5/5 ≈ 3.58.
Выражение Ax0+By0+C без модуля может быть и положительным, и отрицательным — знак указывает, по какую сторону от прямой лежит точка M0 относительно направления нормали n (та же логика знака, что уже встречалась в 8.1 для ориентации тройки векторов и в 9.2 для порядка вершин треугольника). Расстояние физически неотрицательно, поэтому модуль в формуле (10.10) обязателен, если нужно именно расстояние, а не «знаковое отклонение» (последнее иногда используют намеренно, например для проверки, по одну ли сторону прямой лежат две точки — тогда знаки Ax0+By0+C для обеих точек сравнивают без модуля).The expression Ax0+By0+C without the absolute value can be either positive or negative — the sign indicates which side of the line the point M0 lies on relative to the direction of the normal n (the same sign logic already seen in 8.1 for the orientation of a triple of vectors and in 9.2 for the order of a triangle's vertices). Distance is physically non-negative, so the absolute value in formula (10.10) is mandatory when the distance itself is wanted, rather than a "signed deviation" (the latter is sometimes used deliberately, e.g. to check whether two points lie on the same side of a line — then the signs of Ax0+By0+C for both points are compared without the absolute value).
Если при поиске точки пересечения по формулам Крамера главный определитель |A1 B1; A2 B2| оказался равен нулю, попытка всё равно поделить на него — ошибка вычисления, а не признак того, что где-то сделана арифметическая опечатка. Нулевой определитель здесь означает «прямые параллельны или совпадают» — сначала нужно проверить этот случай отдельно (сравнив коэффициенты A, B, C на пропорциональность), и только если определитель не нулевой, применять формулы Крамера.If, while finding the intersection point via Cramer's rule, the main determinant |A1 B1; A2 B2| turns out to be zero, dividing by it anyway is a computational error, not a sign that some arithmetic typo was made somewhere. A zero determinant here means "the lines are parallel or coincide" — this case should first be checked separately (by comparing the coefficients A, B, C for proportionality), and only if the determinant is nonzero should Cramer's rule be applied.
источникsource
Уравнение прямой по точке и направлению, по двум точкам, точка пересечения двух прямых, расстояние от точки до прямой (формулы 10.8–10.10) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава III, §10.3 «Прямая линия на плоскости. Основные задачи», с. 66–68. Связь с 4.2–4.4, 5.3/6.4, Пример 10.1 и раздел «Грабли» — авторское дополнение.The equation of a line through a point and a direction, through two points, the intersection point of two lines, the distance from a point to a line (formulas 10.8–10.10) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter III, §10.3 "A Straight Line in the Plane. Basic Problems," pp. 66–68. The connection to 4.2–4.4 and 5.3/6.4, Example 10.1, and the "Gotchas" section are original additions.