Линии второго порядка на плоскости. Основные понятияSecond-order curves in the plane. Basic concepts

Линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координатA curve defined by an equation of the second degree in the current coordinates

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,   (11.1)

Общее уравнение (10.2) прямой линии — это в точности уравнение (11.1) с A=B=C=0: прямая — вырожденный (нулевой) частный случай второго порядка, если смотреть на неё формально алгебраически, хотя геометрически прямая и кривая второго порядка — принципиально разные объекты (прямая не имеет кривизны, кривая второго порядка — имеет). Слагаемое Bxy — единственное, чего не было в линейных уравнениях §10, и именно оно, как выяснится в 11.6, отвечает за поворот кривой относительно осей координат.The general equation (10.2) of a straight line is precisely equation (11.1) with A=B=C=0: a line is a degenerate (zero) special case of the second order, viewed purely algebraically, even though geometrically a line and a second-order curve are fundamentally different objects (a line has no curvature, a second-order curve does). The term Bxy is the one thing absent from the linear equations of §10, and it's exactly this term that, as will emerge in 11.6, is responsible for the curve's rotation relative to the coordinate axes.

Термин «порядок» здесь означает наивысшую степень, в которой встречаются переменные x и y (сумма показателей в каждом слагаемом: у Ax² и Cy² она равна 2, у Bxy тоже 2, у Dx и Ey — 1). Порядок — свойство самого уравнения, а не конкретной кривой на плоскости: одна и та же геометрическая окружность в разных системах координат (после поворота, сдвига) по-прежнему будет иметь уравнение второй степени, хотя коэффициенты A,B,C,D,E,F изменятся (см. следующий раздел).The term "order" here means the highest degree in which the variables x and y occur (the sum of exponents in each term: for Ax² and Cy² it's 2, for Bxy it's also 2, for Dx and Ey it's 1). Order is a property of the equation itself, not of a specific curve in the plane: the same geometric circle in different coordinate systems (after a rotation, a shift) still has an equation of the second degree, even though the coefficients A,B,C,D,E,F change (see the next section).

Формулы преобразования координат при повороте осей на угол α (9.3) выражают старые координаты x, y как линейные комбинации новых x', y':The coordinate transformation formulas for a rotation of the axes by an angle α (9.3) express the old coordinates x, y as linear combinations of the new ones x', y':

x = x'cos α - y'sin α,
y = x'sin α + y'cos α.

Подставив эти линейные выражения в (11.1) вместо x и y, каждое слагаемое Ax², Bxy, Cy² превращается в квадратичное выражение от x', y' (произведение двух линейных форм остаётся степени 2), а Dx, Ey — в линейное выражение от x', y'. После приведения подобных получаем снова уравнение вида (11.1), но с новыми коэффициентами A', B', C', D', E', F'.Substituting these linear expressions into (11.1) in place of x and y, each term Ax², Bxy, Cy² turns into a quadratic expression in x', y' (the product of two linear forms stays degree 2), while Dx, Ey turns into a linear expression in x', y'. After collecting like terms, we again obtain an equation of the form (11.1), but with new coefficients A', B', C', D', E', F'.

Это не техническая деталь, а условие корректности всего последующего плана §11: если бы порядок мог меняться при повороте осей, «уравнение эллипса» зависело бы от того, как именно расположена система координат, и классификация кривых по степени уравнения потеряла бы смысл. Именно инвариантность порядка оправдывает стандартный приём 11.2–11.5: выбрать систему координат так, чтобы уравнение конкретной кривой приняло простейший (канонический) вид, зная, что степень при этом не изменится — упрощается запись, а не сам геометрический объект.This isn't a technical detail but the correctness condition for the entire plan of §11 that follows: if the order could change under a rotation of the axes, "the equation of an ellipse" would depend on exactly how the coordinate system happened to be placed, and classifying curves by the degree of their equation would lose its meaning. It's precisely this invariance of the order that justifies the standard technique of 11.2–11.5: choosing a coordinate system so that a given curve's equation takes its simplest (canonical) form, knowing the degree won't change in the process — only the notation is simplified, not the geometric object itself.

Тот же принцип уже применялся неявно в 9.1: разложение вектора по ортам i, j не зависит от того, как именно повёрнута плоскость, — координаты меняются, а сам вектор (или, здесь, сама кривая) остаётся тем, чем был. §11.2–11.5 эксплуатируют эту свободу выбора системы координат напрямую: окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются геометрически (через расстояния до фиксированных точек/прямых), а затем система координат подбирается так, чтобы уравнение получилось максимально простым.The same principle was already used implicitly in 9.1: decomposing a vector along the unit vectors i, j doesn't depend on exactly how the plane happens to be rotated — the coordinates change, but the vector itself (or, here, the curve itself) remains what it was. §11.2–11.5 exploit this freedom of choosing a coordinate system directly: the circle, ellipse, hyperbola, and parabola are defined geometrically (via distances to fixed points/lines), and then the coordinate system is chosen so the equation comes out as simple as possible.

Классические линии второго порядка — окружность, эллипс, гипербола, парабола — определяются не алгебраически (через вид уравнения), а геометрически (как множество точек с определённым метрическим свойством), и лишь затем для каждой выводится уравнение — та же прямая задача из 10.1, применённая теперь к нелинейным фигурам.The classical second-order curves — the circle, the ellipse, the hyperbola, the parabola — are defined not algebraically (via the form of the equation) but geometrically (as a set of points with a definite metric property), and only then is the equation derived for each — the same direct problem from 10.1, now applied to non-linear figures.

Заметьте структурное родство всех четырёх определений: каждое выражает геометрическое условие через одну или две фиксированные точки и постоянную величину — то есть буквально то же самое «расстояние между двумя точками» из 9.2, применённое не к одной паре точек, а к переменной точке M(x;y) и одной/двум фиксированным. Разница между кривыми — не в инструменте (везде используется формула расстояния), а в том, какое именно соотношение расстояний остаётся постоянным.Notice the structural kinship of all four definitions: each expresses a geometric condition via one or two fixed points and a constant quantity — literally the same "distance between two points" from 9.2, applied not to a single pair of points but to a variable point M(x;y) and one or two fixed ones. The difference between the curves isn't in the tool (the distance formula is used throughout) but in exactly which relation among the distances stays constant.

§11.6 закроет круг, вернувшись от четырёх отдельных канонических уравнений к одному общему уравнению (11.1): по знаку выражения B²-4AC (дискриминант квадратичной части) можно, не решая уравнение и не строя кривую, определить, какая из четырёх (или их вырожденных случаев) перед нами.§11.6 will close the loop, returning from the four separate canonical equations back to a single general equation (11.1): from the sign of the expression B²-4AC (the discriminant of the quadratic part), it's possible to determine, without solving the equation or plotting the curve, which of the four (or their degenerate cases) is at hand.