11.2 — Глава III, §11. Линии второго порядка на плоскости11.2 — Chapter III, §11. Second-order curves in the plane
Самая простая из четырёх кривых §11 — потому что в её определении фигурирует всего одна фиксированная точка, а не две, как у эллипса и гиперболы. Именно поэтому с окружности удобно начинать: приём «геометрическое определение → формула расстояния → алгебраическое уравнение» здесь виден в чистейшем виде, без усложнений, которые появятся уже в 11.3.The simplest of the four curves in §11 — because its definition involves only a single fixed point, not two, as with the ellipse and hyperbola. That's exactly why the circle is the natural starting point: the technique "geometric definition → distance formula → algebraic equation" is visible here in its purest form, without the complications that will appear already in 11.3.
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром. Расстояние от произвольной точки окружности до её центра называется радиусом.A circle is the set of all points in the plane equidistant from a given point, called the center. The distance from an arbitrary point of the circle to its center is called the radius.
Пусть точка C(a;b) — центр окружности, R — её радиус (R > 0). Возьмём на окружности произвольную точку M(x;y). По определению, расстояние |CM| равно R для любой точки окружности и только для них — это в точности обе половины определения уравнения линии из 10.1 (и на линии, и только на линии). Применяя формулу расстояния между двумя точками (9.2):Let the point C(a;b) be the center of a circle, and R its radius (R > 0). Take an arbitrary point M(x;y) on the circle. By definition, the distance |CM| equals R for every point of the circle and only for them — exactly both halves of the definition of a curve's equation from 10.1 (on the curve, and only on it). Applying the distance formula between two points (9.2):
|CM| = √((x-a)² + (y-b)²) = R.Возведя обе части в квадрат (обратимо, поскольку обе части неотрицательны):Squaring both sides (reversible, since both sides are non-negative):
(x - a)² + (y - b)² = R². (11.2)Рис. 33. Окружность с центром C(a;b) и радиусом R: любая точка M на ней удалена от C на RFig. 33. A circle with center C(a;b) and radius R: any point M on it is at distance R from C
Если центр окружности совпадает с началом координат (a=b=0), уравнение (11.2) упрощается до канонического уравнения окружности: x² + y² = R². Это как раз тот самый выбор «удобной» системы координат, оправданный инвариантностью порядка (11.1): любую окружность можно перенести в начало координат сдвигом осей, не меняя ни радиуса, ни степени уравнения.If the circle's center coincides with the origin (a=b=0), equation (11.2) simplifies to the canonical equation of a circle: x² + y² = R². This is exactly the choice of a "convenient" coordinate system justified by the invariance of the order (11.1): any circle can be moved to the origin by a shift of the axes, without changing either the radius or the degree of the equation.
Раскрыв скобки в (11.2), получаемExpanding the brackets in (11.2), we obtain
x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - R²) = 0.Сравнивая с общим уравнением линии второго порядка (11.1), видно: у окружности A = C (коэффициенты при x² и y² равны), и B = 0 (слагаемое xy отсутствует). Это не совпадение, а прямое следствие того, что окружность — единственная из четырёх кривых, у которой нет выделенного направления: расстояние до центра одинаково по всем направлениям, поэтому x и y должны входить в уравнение полностью симметрично.Comparing this to the general second-order equation (11.1), we see: for a circle, A = C (the coefficients of x² and y² are equal), and B = 0 (the xy term is absent). This isn't a coincidence but a direct consequence of the circle being the only one of the four curves with no distinguished direction: the distance to the center is the same in every direction, so x and y must enter the equation fully symmetrically.
x² + y² + Dx + Ey + F = 0, (11.3)т. е. уравнение (11.1) при A = C = 1 (после деления на общий коэффициент A) и B = 0.i.e. equation (11.1) with A = C = 1 (after dividing through by the common coefficient A) and B = 0.
Чтобы вернуться от общего вида (11.3) к уравнению с явными центром и радиусом (11.2), применяется приём выделения полного квадрата — тот же самый алгебраический приём, что используется при решении квадратных уравнений через дискриминант, только применённый к двум переменным по отдельности.To go back from the general form (11.3) to the equation with an explicit center and radius (11.2), the technique of completing the square is used — the same algebraic trick used when solving quadratic equations via the discriminant, just applied to two variables separately.
Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0.Find the center and radius of the circle given by the equation x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0.
Шаг 1 — сгруппировать слагаемые по переменным.Step 1 — group the terms by variable.
(x² - 6x) + (y² + 4y) - 3 = 0.Шаг 2 — выделить полный квадрат по x. Половина коэффициента при x — это -3, его квадрат — 9; прибавляем и вычитаем 9:Step 2 — complete the square in x. Half the coefficient of x is -3, its square is 9; add and subtract 9:
x² - 6x = (x² - 6x + 9) - 9 = (x-3)² - 9.Шаг 3 — выделить полный квадрат по y. Половина коэффициента при y — это 2, его квадрат — 4:Step 3 — complete the square in y. Half the coefficient of y is 2, its square is 4:
y² + 4y = (y² + 4y + 4) - 4 = (y+2)² - 4.Шаг 4 — собрать всё вместе.Step 4 — put it all together.
(x-3)² - 9 + (y+2)² - 4 - 3 = 0,
(x-3)² + (y+2)² = 16.Итак, сравнивая с (11.2): центр окружности C(3;-2), радиус R = √16 = 4.So, comparing with (11.2): the circle's center is C(3;-2), and its radius is R = √16 = 4.
После выделения полного квадрата правая часть R² = (D/2)² + (E/2)² - F может оказаться нулевой (уравнение задаёт единственную точку — «окружность нулевого радиуса», вырожденный случай) или отрицательной (уравнению не удовлетворяет ни одна вещественная точка — пустое множество). Прежде чем называть √(...) радиусом, нужно явно проверить знак выражения под корнем — тот же самый вырожденный случай, о котором предупреждает 11.1.After completing the square, the right-hand side R² = (D/2)² + (E/2)² - F can turn out to be zero (the equation defines a single point — a "circle of zero radius," a degenerate case) or negative (no real point satisfies the equation — the empty set). Before calling √(...) the radius, the sign of the expression under the root must be explicitly checked — the same degenerate case §11.1 warns about.
Если в общем уравнении второго порядка (11.1) коэффициенты при x² и y² различны, или присутствует слагаемое xy, попытка выделить полный квадрат для получения «центра и радиуса» не имеет смысла — уравнение описывает не окружность, а одну из других кривых (11.3–11.5) или их поворот. Проверка A=C, B=0 должна идти первым шагом, до попытки применить приём из Примера 11.1.If, in the general second-order equation (11.1), the coefficients of x² and y² differ, or an xy term is present, attempting to complete the square to get a "center and radius" doesn't make sense — the equation describes not a circle but one of the other curves (11.3–11.5) or a rotated version of one. Checking A=C, B=0 should be the first step, before attempting the technique from Example 11.1.
источникsource
Определение окружности, уравнение (11.2)–(11.3) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава III, §11.2 «Окружность», с. 70–71. Пример 11.1, связь с 9.2/11.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The definition of a circle, equations (11.2)–(11.3) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter III, §11.2 "The Circle," pp. 70–71. Example 11.1, the connection to 9.2/11.1, and the "Gotchas" section are original additions.