ЭллипсThe ellipse

Условие «сумма больше расстояния между фокусами» — не формальность: это в точности неравенство треугольника, знакомое из геометрии, — без него множество точек оказалось бы вырожденным (пустым или отрезком между фокусами). Обозначим фокусы F1 и F2, расстояние между ними — 2c (c называют полуфокусным расстоянием). Условие определения тогда переписывается как 2a > 2c, т. е. a > c.The condition "the sum is greater than the distance between the foci" isn't a formality: it's precisely the triangle inequality familiar from geometry — without it, the set of points would degenerate (either empty or the segment between the foci). Denote the foci F1 and F2, and the distance between them 2c (c is called the semi-focal distance). The condition in the definition then reads 2a > 2c, i.e. a > c.

Выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси Ox симметрично относительно начала координат: F1(-c;0), F2(c;0) (это тот самый «удобный выбор координат», оправданный инвариантностью порядка из 11.1). Пусть M(x;y) — произвольная точка эллипса. По определению,Choose the coordinate system so the foci lie on the axis Ox, symmetric about the origin: F1(-c;0), F2(c;0) (this is exactly the "convenient choice of coordinates" justified by the invariance of the order from 11.1). Let M(x;y) be an arbitrary point of the ellipse. By definition,

|MF1| + |MF2| = 2a.

По формуле расстояния (9.2):By the distance formula (9.2):

√((x+c)² + y²) + √((x-c)² + y²) = 2a.

Перенесём второй корень в правую часть и возведём обе части в квадрат:Move the second root to the right-hand side and square both sides:

(x+c)² + y² = 4a² - 4a√((x-c)²+y²) + (x-c)² + y².

После раскрытия скобок и приведения подобных большинство слагаемых сокращается, остаётсяAfter expanding the brackets and collecting like terms, most terms cancel, leaving

a√((x-c)²+y²) = a² - cx.

Возведём обе части в квадрат ещё раз (второе применение того же приёма избавления от иррациональности):Square both sides once more (the second application of the same irrationality-clearing trick):

a²(x-c)² + a²y² = a⁴ - 2a²cx + c²x²,
a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y² = a⁴ - 2a²cx + c²x²,
(a² - c²)x² + a²y² = a²(a² - c²).

Поскольку a > c (по определению), величина a² - c² положительна — обозначим её b² = a² - c². Разделив обе части на a²b²:Since a > c (by definition), the quantity a² - c² is positive — denote it b² = a² - c². Dividing both sides by a²b²:

x²/a² + y²/b² = 1,   где   b² = a² - c².   (11.4)

Двукратное возведение в квадрат — стандартный, но потенциально опасный приём (см. Грабли): каждое возведение в квадрат может добавить посторонние решения, не удовлетворяющие исходному уравнению с корнями. То, что итоговое уравнение (11.4) всё же корректно описывает именно эллипс, а не более широкое множество, требует отдельной, здесь опущенной проверки (что при a>c>0 знаки в промежуточных выражениях согласованы) — в учебниках это обычно оставляют как техническую деталь, но по сути это применение того же принципа «уравнение линии = оба направления», что и в 10.1.Squaring twice is a standard but potentially risky technique (see Gotchas): each squaring can introduce extraneous solutions that don't satisfy the original equation with the radicals. That the resulting equation (11.4) does correctly describe exactly the ellipse, not some broader set, requires a separate check (omitted here) that for a>c>0 the signs in the intermediate expressions are consistent — textbooks usually leave this as a technical detail, but in essence it's an application of the same principle "the equation of a curve = both directions" from 10.1.

В уравнении (11.4) переменные x и y входят только в чётных степенях, значит, эллипс симметричен относительно обеих осей координат и относительно начала координат. Числа a и b называют большой и малой полуосями (при a > b, что следует из b² = a² - c² и c > 0). Точки пересечения эллипса с осями координат — (±a;0) и (0;±b) — называют вершинами эллипса.In equation (11.4), the variables x and y occur only to even powers, so the ellipse is symmetric about both coordinate axes and about the origin. The numbers a and b are called the semi-major and semi-minor axes (with a > b, which follows from b² = a² - c² and c > 0). The points where the ellipse meets the coordinate axes — (±a;0) and (0;±b) — are called the vertices of the ellipse.

ε = c/a,   0 < ε < 1.   (11.5)

Эксцентриситет измеряет форму эллипса независимо от его размера: чем ε ближе к 0 (т. е. чем c меньше по сравнению с a), тем ближе b к a (из b²=a²-c²=a²(1-ε²)) и тем ближе эллипс по форме к окружности. При ε → 0 (фокусы стягиваются в одну точку, c → 0) эллипс вырождается в окружность радиуса a — окружность из 11.2 оказывается предельным случаем эллипса, а не отдельной несвязанной кривой. Чем ε ближе к 1, тем более эллипс вытянут.Eccentricity measures the shape of an ellipse independently of its size: the closer ε is to 0 (i.e. the smaller c is compared to a), the closer b is to a (from b²=a²-c²=a²(1-ε²)), and the closer the ellipse's shape is to a circle. As ε → 0 (the foci collapse to a single point, c → 0), the ellipse degenerates into a circle of radius a — the circle from 11.2 turns out to be a limiting case of the ellipse, not a separate, unrelated curve. The closer ε is to 1, the more elongated the ellipse.