ГиперболаThe hyperbola

Условие «меньшая» здесь — тот же самый геометрический смысл, что и «большая» в определении эллипса (11.3), только в обратную сторону: разность двух сторон треугольника всегда меньше третьей стороны (неравенство треугольника, применённое к разности вместо суммы). Обозначим фокусы F1(-c;0), F2(c;0) (та же удобная система координат, что и в 11.3), расстояние между ними — 2c. Условие определения: 2a < 2c, т. е. a < c — прямо противоположное условию эллипса (a > c).The condition "less" here carries the same geometric meaning as "greater" in the ellipse's definition (11.3), just reversed: the difference of two sides of a triangle is always less than the third side (the triangle inequality, applied to a difference instead of a sum). Denote the foci F1(-c;0), F2(c;0) (the same convenient coordinate system as in 11.3), and the distance between them 2c. The condition in the definition: 2a < 2c, i.e. a < c — the exact opposite of the ellipse's condition (a > c).

Вывод дословно повторяет вывод (11.4) в 11.3 — до последнего шага: начинаем с ||MF1| - |MF2|| = 2a вместо |MF1| + |MF2| = 2a, дважды применяем формулу расстояния (9.2) и дважды возводим в квадрат тем же приёмом избавления от иррациональности. Итог получается формально идентичным по структуре:The derivation repeats (11.4) from 11.3 word for word — up to the last step: start with ||MF1| - |MF2|| = 2a instead of |MF1| + |MF2| = 2a, apply the distance formula (9.2) twice, and square twice using the same irrationality-clearing trick. The result is formally identical in structure:

(c² - a²)x² - a²y² = a²(c² - a²).

Но здесь ключевое отличие от эллипса: поскольку a < c (а не a > c, как в 11.3), величина c² - a² положительна — обозначим её b² = c² - a² (не a² - c², как в эллипсе — там знак был бы отрицательным). Разделив обе части на a²b²:But here's the key difference from the ellipse: since a < c (not a > c, as in 11.3), the quantity c² - a² is positive — denote it b² = c² - a² (not a² - c² as with the ellipse — there the sign would be negative). Dividing both sides by a²b²:

x²/a² - y²/b² = 1,   где   b² = c² - a².   (11.6)

Единственное алгебраическое отличие от уравнения эллипса (11.4) — знак минус перед y²/b² вместо плюса. Это исчерпывающе точный пример того, как малое изменение в геометрическом условии (сумма → разность) отражается ровно одним знаком в итоговом уравнении — не новой формулой «с нуля», а модификацией уже выведенной.The single algebraic difference from the ellipse's equation (11.4) is the minus sign before y²/b² instead of a plus. This is an exhaustively precise example of how a small change in the geometric condition (sum → difference) shows up as exactly one sign in the resulting equation — not a new formula built from scratch, but a modification of the one already derived.

Как и у эллипса, переменные входят в (11.6) только в чётных степенях — гипербола симметрична относительно обеих осей и начала координат. Но в отличие от эллипса, при x=0 уравнение -y²/b²=1 не имеет вещественных решений: гипербола не пересекает ось Oy. При y=0: x=±a — точки (±a;0) называют вершинами гиперболы. Из уравнения (11.6) следует |x| ≥ a для любой точки кривой — отсюда и разрыв: гипербола состоит из двух отдельных ветвей, а не из одной замкнутой линии.As with the ellipse, the variables enter (11.6) only in even powers — the hyperbola is symmetric about both axes and the origin. But unlike the ellipse, at x=0 the equation -y²/b²=1 has no real solutions: the hyperbola doesn't cross the axis Oy. At y=0: x=±a — the points (±a;0) are called the vertices of the hyperbola. From equation (11.6), |x| ≥ a for every point of the curve — hence the gap: the hyperbola consists of two separate branches, not one closed curve.

y = (b/a)x   и   y = -(b/a)x.   (11.7)

Асимптоты — принципиально новый элемент, отсутствующий у эллипса, и это не случайно: у эллипса кривая ограничена (лежит внутри прямоугольника |x|≤a, |y|≤b), а у гиперболы неограничена, и вопрос «куда стремится кривая на бесконечности» становится содержательным. Формально асимптоты получаются из уравнения (11.6), если заменить правую часть 1 на 0: x²/a² - y²/b² = 0 раскладывается как разность квадратов на (x/a-y/b)(x/a+y/b)=0, что и даёт пару прямых (11.7) — тот же приём «вырожденного случая уравнения второго порядка» (пара пересекающихся прямых), о котором предупреждала 11.1.Asymptotes are a fundamentally new element, absent from the ellipse, and this is no accident: the ellipse's curve is bounded (it lies inside the rectangle |x|≤a, |y|≤b), while the hyperbola's is unbounded, so the question "where does the curve tend to at infinity" becomes meaningful. Formally, the asymptotes come from equation (11.6) by replacing the right-hand side 1 with 0: x²/a² - y²/b² = 0 factors as a difference of squares into (x/a-y/b)(x/a+y/b)=0, giving exactly the pair of lines (11.7) — the same "degenerate second-order case" (a pair of intersecting lines) that §11.1 warned about.

ε = c/a,   ε > 1.   (11.8)

Заметьте противоположность граничных значений: ε → 1 (эллипс) соответствует наиболее вытянутой форме, тогда как ε → 1 (гипербола, с другой стороны) соответствует гиперболе, ветви которой наиболее прижаты к оси Ox. Общая точка ε=1 — не эллипс и не гипербола, а парабола (11.5), что станет ясно в следующем параграфе.Notice the opposite behavior at the boundary values: ε → 1 (ellipse) corresponds to the most elongated shape, whereas ε → 1 (hyperbola, approached from the other side) corresponds to a hyperbola whose branches hug the axis Ox most closely. The shared point ε=1 is neither an ellipse nor a hyperbola but a parabola (11.5), as will become clear in the next section.