ПараболаThe parabola

Расстояние от фокуса до директрисы обозначим p (p > 0) — эту величину называют параметром параболы. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox проходила через фокус перпендикулярно директрисе, а начало координат лежало ровно посередине между фокусом и директрисой (снова тот же приём удобного выбора осей, оправданный инвариантностью порядка из 11.1). Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса задаётся уравнением x = -p/2.Denote the distance from the focus to the directrix by p (p > 0) — this quantity is called the parameter of the parabola. Choose the coordinate system so the axis Ox passes through the focus perpendicular to the directrix, and the origin lies exactly midway between the focus and the directrix (again the same convenient-axis technique, justified by the invariance of the order from 11.1). Then the focus has coordinates F(p/2; 0), and the directrix is given by the equation x = -p/2.

Пусть M(x;y) — произвольная точка параболы. Расстояние от M до фокуса F(p/2;0) — по формуле (9.2):Let M(x;y) be an arbitrary point of the parabola. The distance from M to the focus F(p/2;0) — by formula (9.2):

|MF| = √((x - p/2)² + y²).

Расстояние от M до директрисы x = -p/2 — это расстояние от точки до вертикальной прямой, т. е. просто разность абсцисс по модулю:The distance from M to the directrix x = -p/2 is the distance from a point to a vertical line, i.e. simply the absolute difference of abscissas:

d = |x + p/2|.

По определению, |MF| = d:By definition, |MF| = d:

√((x - p/2)² + y²) = |x + p/2|.

Возведём обе части в квадрат (здесь всего одно возведение в квадрат, а не два, как в 11.3–11.4, — уравнение параболы выводится проще именно потому, что расстояние до прямой не требует отдельного корня):Square both sides (here just one squaring, not two as in 11.3–11.4 — the parabola's equation is simpler to derive precisely because the distance to a line doesn't need a separate radical):

(x - p/2)² + y² = (x + p/2)²,
x² - px + p²/4 + y² = x² + px + p²/4,
y² = 2px.

y² = 2px.   (11.9)

Однократное возведение в квадрат вместо двукратного — не просто техническое упрощение: оно отражает, что в определении параболы фигурирует лишь одна пара «точка–расстояние» (до фокуса) и одна операция «расстояние до прямой» (не требующая корня вообще, в отличие от расстояния между двумя точками). Уравнение (11.9) получается на порядок проще, чем (11.4) или (11.6), именно поэтому, а не из-за какой-то дополнительной симметрии параболы.Squaring once instead of twice isn't just a technical simplification: it reflects that the parabola's definition involves only one "point–distance" pair (to the focus) and one "distance to a line" operation (which needs no radical at all, unlike the distance between two points). Equation (11.9) comes out an order simpler than (11.4) or (11.6) precisely for this reason, not because of some extra symmetry of the parabola.

В уравнении (11.9) переменная y входит только в чётной степени, а x — только в первой: парабола симметрична относительно оси Ox (называемой осью параболы), но не относительно оси Oy, и не относительно начала координат. Точка (0;0), в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы.In equation (11.9), the variable y occurs only to an even power, while x occurs only to the first: the parabola is symmetric about the axis Ox (called the axis of the parabola), but not about the axis Oy, nor about the origin. The point (0;0), where the parabola crosses its axis, is called the vertex of the parabola.

Так как p > 0, из y² = 2px следует x ≥ 0 для любой точки параболы: вся кривая лежит в правой полуплоскости, ветви уходят в бесконечность вправо. Если бы уравнение было записано как y² = -2px, парабола раскрывалась бы влево; уравнения x² = 2py и x² = -2py (с переставленными ролями x и y) описывают параболы, раскрывающиеся вверх и вниз соответственно, — та же кривая, просто ось параболы совмещена с Oy, а не с Ox.Since p > 0, from y² = 2px it follows that x ≥ 0 for every point of the parabola: the whole curve lies in the right half-plane, with its branches heading off to infinity rightward. If the equation were written as y² = -2px, the parabola would open leftward; the equations x² = 2py and x² = -2py (with the roles of x and y swapped) describe parabolas opening upward and downward respectively — the same curve, just with its axis aligned with Oy instead of Ox.

У параболы нет второго параметра, аналогичного b у эллипса/гиперболы, и нет эксцентриситета в том же смысле — но если формально продолжить формулу ε = c/a предельным переходом (11.4), парабола соответствует ε = 1 ровно посередине между эллипсом (ε < 1) и гиперболой (ε > 1), как и было анонсировано в конце 11.4. Единственный параметр p определяет не форму (все параболы подобны друг другу с точностью до масштаба), а только «ширину раскрытия» кривой.The parabola has no second parameter analogous to b in the ellipse/hyperbola, and no eccentricity in the same sense — but if the formula ε = c/a is formally continued through the limiting process (11.4), the parabola corresponds to ε = 1, sitting exactly between the ellipse (ε < 1) and the hyperbola (ε > 1), as was announced at the end of 11.4. The single parameter p determines not the shape (all parabolas are similar to one another up to scale) but only the "width of opening" of the curve.