Общее уравнение линий второго порядкаThe general equation of second-order curves

В каноническом виде (11.4), (11.6), (11.9) слагаемое с произведением xy всегда отсутствует (B=0). Это не случайность конкретного выбора осей в 11.3–11.5, а системная закономерность: слагаемое Bxy в общем уравнении (11.1) появляется тогда и только тогда, когда оси симметрии кривой повёрнуты относительно осей координат Ox, Oy.In the canonical forms (11.4), (11.6), (11.9), the term with the product xy is always absent (B=0). This isn't a coincidence of the specific axis choice in 11.3–11.5, but a systemic regularity: the Bxy term in the general equation (11.1) appears if and only if the curve's axes of symmetry are rotated relative to the coordinate axes Ox, Oy.

Формально: если подставить формулы поворота осей на угол α (9.3) в общее уравнение (11.1), коэффициент при x'y' в новой системе координат равенFormally: substituting the axis-rotation formulas for an angle α (9.3) into the general equation (11.1), the coefficient of x'y' in the new coordinate system equals

B' = (C - A)·sin 2α + B·cos 2α.

Приравнивая B' = 0 и решая относительно α, получаем угол поворота, который «убирает» слагаемое xy:Setting B' = 0 and solving for α gives the rotation angle that "removes" the xy term:

ctg 2α = (A - C) / B   (при B ≠ 0).   (11.10)

Это доказывает то, что 11.2–11.5 использовали неявно: любое уравнение вида (11.1) можно поворотом осей на угол α из (11.10) свести к уравнению без слагаемого xy, а затем (при необходимости) переносом начала координат — к одному из канонических уравнений (11.2), (11.4), (11.6), (11.9). Выбор «удобной» системы координат в §11.2–11.5 был не произволом, а гарантированно достижимым результатом для любой кривой второго порядка.This proves what 11.2–11.5 used implicitly: any equation of the form (11.1) can, by rotating the axes through the angle α from (11.10), be reduced to an equation with no xy term, and then (if needed) by translating the origin, to one of the canonical equations (11.2), (11.4), (11.6), (11.9). The choice of a "convenient" coordinate system in §11.2–11.5 wasn't arbitrary — it was a guaranteed-achievable outcome for any second-order curve.

Поворот осей меняет отдельные коэффициенты A, B, C, но, как можно показать, оставляет неизменным (инвариантным) выражение B² - 4AC — тот же самый дискриминант квадратичной части уравнения. Это ключевой факт: он позволяет определить тип кривой по коэффициентам исходного уравнения, ещё до поворота осей.Rotating the axes changes the individual coefficients A, B, C, but, as can be shown, leaves the expression B² - 4AC — the same discriminant of the equation's quadratic part — unchanged (invariant). This is the key fact: it allows the curve's type to be determined from the original equation's coefficients, before any rotation of the axes.

Проверим согласованность с каноническими уравнениями. Окружность/эллипс (11.2), (11.4): A=C (или пропорциональны с одинаковым знаком), B=0, значит B²-4AC = -4AC < 0 при A,C одного знака — совпадает с «эллиптическим» типом. Гипербола (11.6), в форме x²/a² - y²/b² = 1: A=1/a², C=-1/b², B=0, значит B²-4AC = 4/(a²b²) > 0 — «гиперболический» тип. Парабола (11.9), y²-2px=0: A=0, B=0, C=1, значит B²-4AC = 0 — «параболический» тип. Всё сходится: названия классов не произвольны, а взяты по образцовой кривой каждого типа.Let's check this against the canonical equations. Circle/ellipse (11.2), (11.4): A=C (or proportional with the same sign), B=0, so B²-4AC = -4AC < 0 when A,C share a sign — matches the "elliptic" type. Hyperbola (11.6), in the form x²/a² - y²/b² = 1: A=1/a², C=-1/b², B=0, so B²-4AC = 4/(a²b²) > 0 — the "hyperbolic" type. Parabola (11.9), y²-2px=0: A=0, B=0, C=1, so B²-4AC = 0 — the "parabolic" type. It all checks out: the class names aren't arbitrary — they're taken from the archetypal curve of each type.

Название и структура этой классификации — не совпадение с дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx+c=0 (D=b²-4ac): формально это то же самое выражение, применённое не к числовым коэффициентам скалярного уравнения, а к коэффициентам квадратичной формы от двух переменных. Знак дискриминанта там определяет число вещественных корней, здесь — тип кривой; общая идея («знак определённого выражения от коэффициентов решает всё, не решая само уравнение») — одна и та же.The name and structure of this classification isn't a coincidence with the discriminant of the quadratic equation ax²+bx+c=0 (D=b²-4ac): formally it's the same expression, applied not to the numeric coefficients of a scalar equation but to the coefficients of a quadratic form in two variables. There, the sign of the discriminant determines the number of real roots; here, the type of curve — the underlying idea ("the sign of a specific expression in the coefficients settles everything, without solving the equation itself") is the same.

Дискриминант B²-4AC определяет только тип («семейство»), но не различает внутри одного знака невырожденную кривую от вырожденной (например, «эллипс» от «точки» или «пустого множества» при B²-4AC < 0). Различение вырожденности требует дополнительной проверки — обычно через определитель полной матрицы квадратичной формы (включающей и линейные коэффициенты D, E, и свободный член F), а не только квадратичную часть A,B,C. Это тот же самый метод определителя, что уже использовался для проверки невырожденности матрицы в 3.1 и совместности системы через ранги в 4.2 — здесь он применяется к матрице квадратичной формы, а не к матрице линейной системы.The discriminant B²-4AC determines only the type ("family"), but doesn't distinguish, within one sign, a non-degenerate curve from a degenerate one (say, "an ellipse" from "a point" or "the empty set" when B²-4AC < 0). Telling degeneracy apart requires an additional check — usually via the determinant of the full matrix of the quadratic form (including the linear coefficients D, E, and the constant term F), not just the quadratic part A,B,C. This is the same determinant method already used to check a matrix's non-singularity in 3.1 and a system's consistency via ranks in 4.2 — here it's applied to the matrix of the quadratic form rather than to a linear system's matrix.

На практике, впрочем, для конкретного уравнения проще довести его до канонического вида (выделением полного квадрата, как в Примере 11.1, и/или поворотом осей по (11.10)) и увидеть тип и вырожденность напрямую — дискриминант B²-4AC полезен как быстрая предварительная классификация, не заменяющая полный анализ, а сокращающая пространство вариантов перед ним.In practice, though, for a specific equation it's often simpler to reduce it to canonical form (by completing the square, as in Example 11.1, and/or rotating the axes via (11.10)) and see the type and any degeneracy directly — the discriminant B²-4AC is useful as a quick preliminary classification, not a replacement for the full analysis, but a way to narrow down the options before it.