Преобразование системы координатTransformation of the coordinate system

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат. Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.The transition from one coordinate system to some other is called a transformation of the coordinate system. Let's consider two cases of transforming one rectangular coordinate system into another. The formulas obtained establish the relationship between the coordinates of an arbitrary point of the plane in different coordinate systems.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Oxy к новой системе O1x1y1, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.Let a rectangular coordinate system Oxy be given in the plane. By a parallel translation of the coordinate axes is meant the transition from the coordinate system Oxy to a new system O1x1y1, in which the position of the origin changes, while the direction of the axes and the scale remain unchanged.

Пусть начало новой системы координат точка O1 имеет координаты (x0; y0) в старой системе координат Oxy, т. е. O1(x0; y0). Обозначим координаты произвольной точки M плоскости в системе Oxy через (x; y), а в новой системе O1x1y1 через (x'; y').Let the origin of the new coordinate system, the point O1, have coordinates (x0; y0) in the old coordinate system Oxy, i.e. O1(x0; y0). Denote the coordinates of an arbitrary point M of the plane in the system Oxy by (x; y), and in the new system O1x1y1 by (x'; y').

Рассмотрим векторыConsider the vectors

OM = x·i + y·j,   OO1 = x0·i + y0·j,   O1M = x'·i + y'·j.

Так как OM = OO1 + O1M, то x·i + y·j = x0·i + y0·j + x'·i + y'·j, т. е. x·i + y·j = (x0 + x')·i + (y0 + y')·j.Since OM = OO1 + O1M, we have x·i + y·j = x0·i + y0·j + x'·i + y'·j, i.e. x·i + y·j = (x0 + x')·i + (y0 + y')·j.

{ x = x0 + x',
  y = y0 + y'. }

Этот вывод — почти дословный «плоский повтор» правила треугольника (5.2) и вывода координат вектора через координаты его концов (5.5, AB = OB - OA): равенство OM = OO1 + O1M — это сложение векторов по правилу треугольника, а переход к координатам — тот же самый ход, что уже применялся многократно. Ничего принципиально нового не вводится: параллельный перенос осей — это просто «пересчёт начала координат», записанный как сложение векторов.This derivation is an almost word-for-word "planar repeat" of the triangle rule (5.2) and of deriving a vector's coordinates from its endpoints' coordinates (5.5, AB = OB - OA): the equality OM = OO1 + O1M is vector addition by the triangle rule, and passing to coordinates is the same move already applied many times before. Nothing fundamentally new is introduced: translating the axes is simply "recomputing the origin," written as vector addition.

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.By rotation of the coordinate axes is meant such a transformation of coordinates in which both axes are rotated by the same angle, while the origin and the scale remain unchanged.

Пусть новая система O1x1y1 получена поворотом системы Oxy на угол α. Пусть M — произвольная точка плоскости, (x; y) — её координаты в старой системе и (x'; y') — в новой системе.Let the new system O1x1y1 be obtained by rotating the system Oxy by an angle α. Let M be an arbitrary point of the plane, (x; y) its coordinates in the old system and (x'; y') in the new system.

Введём две полярные системы координат с общим полюсом O и полярными осями Ox и Ox1 (масштабы одинаковы). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + φ и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе.Let's introduce two polar coordinate systems with a common pole O and polar axes Ox and Ox1 (with the same scale). The polar radius r is the same in both systems, and the polar angles equal α + φ and φ respectively, where φ is the polar angle in the new polar system.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеемBy the formulas for the transition from polar to rectangular coordinates, we have

x = r · cos(α + φ),        x = r cos φ · cos α - r sin φ · sin α,
y = r · sin(α + φ),   т. е. y = r cos φ · sin α + r sin φ · cos α.

Но r cos φ = x' и r sin φ = y'. ПоэтомуBut r cos φ = x' and r sin φ = y'. Therefore

{ x = x' cos α - y' sin α,
  y = x' sin α + y' cos α. }

Этот вывод — красивая демонстрация того, зачем в 9.1 вводились сразу обе системы координат (прямоугольная и полярная): прямоугольные координаты неудобно поворачивать напрямую, зато полярный угол при повороте осей меняется тривиально (φ_new = φ_old - α), поэтому весь трюк — на секунду «нырнуть» в полярные координаты, где поворот тривиален, применить формулу сложения углов косинуса/синуса (cos(α+φ), sin(α+φ)), а затем «вынырнуть» обратно в прямоугольные. Обратите внимание на матричную структуру этих формул: коэффициенты (cos α, -sin α; sin α, cos α) образуют в точности матрицу поворота — тот самый объект, который в Главе I назывался бы просто «матрицей 2×2», но здесь впервые получает конкретный геометрический смысл (вращение плоскости на угол α).This derivation is a beautiful demonstration of why 9.1 introduced both coordinate systems at once (rectangular and polar): rectangular coordinates are inconvenient to rotate directly, but the polar angle changes trivially under a rotation of the axes (φ_new = φ_old - α), so the whole trick is to "dip" into polar coordinates for a moment, where the rotation is trivial, apply the angle-addition formula for cosine/sine (cos(α+φ), sin(α+φ)), and then "surface" back into rectangular coordinates. Notice the matrix structure of these formulas: the coefficients (cos α, -sin α; sin α, cos α) form exactly a rotation matrix — the very object that, in Chapter I, would simply be called a "2×2 matrix," but here for the first time acquires a concrete geometric meaning (rotating the plane by an angle α).

Если новая система координат O1x1y1 получена из старой Oxy путём параллельного переноса осей координат и последующего поворота осей на угол α, то путём введения вспомогательной системы O1x̃ỹ легко получить формулыIf the new coordinate system O1x1y1 is obtained from the old Oxy by a parallel translation of the coordinate axes followed by a rotation of the axes by an angle α, then, by introducing an auxiliary system O1x̃ỹ, one readily obtains the formulas

{ x = x' cos α - y' sin α + x0,
  y = x' sin α + y' cos α + y0, }

Эта финальная формула — простое наложение двух уже полученных результатов друг на друга (сначала повернуть, потом сдвинуть начало, или наоборот — вспомогательная система O1x̃ỹ как раз и позволяет развести эти два шага). Это иллюстрирует общий принцип, который будет полезен весь оставшийся курс: сложные преобразования почти всегда раскладываются в композицию простых, уже изученных, а не требуют вывода «с нуля» каждый раз.This final formula is a simple superposition of the two results already obtained (first rotate, then shift the origin, or vice versa — the auxiliary system O1x̃ỹ is exactly what lets these two steps be separated). This illustrates a general principle useful for the rest of the course: complex transformations almost always decompose into a composition of simpler, already-studied ones, rather than requiring a derivation "from scratch" every time.