Основные приложения метода координат на плоскостиBasic applications of the coordinate method in the plane

Требуется найти расстояние d между точками A(x1; y1) и B(x2; y2) плоскости Oxy.Find the distance d between the points A(x1; y1) and B(x2; y2) of the plane Oxy.

d = |AB| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Эта формула — прямой плоский аналог формулы (5.4) для модуля вектора (|a| = √(a_x²+a_y²+a_z²), см. 5.4) и формулы координат вектора через координаты концов (AB = (x2-x1; y2-y1; z2-z1), см. 5.5), с той лишь разницей, что здесь координата z отсутствует. Иначе говоря, «расстояние между двумя точками» в аналитической геометрии — это не отдельное новое понятие, а модуль уже знакомого вектора.This formula is a direct planar analogue of formula (5.4) for the magnitude of a vector (|a| = √(a_x²+a_y²+a_z²), see 5.4) and of the formula for a vector's coordinates via its endpoints' coordinates (AB = (x2-x1; y2-y1; z2-z1), see 5.5), with the sole difference that the coordinate z is absent here. In other words, "the distance between two points" in analytic geometry isn't a separate new concept — it's the magnitude of an already-familiar vector.

Требуется разделить отрезок AB, соединяющий точки A(x1; y1) и B(x2; y2), в заданном отношении λ > 0, т. е. найти координаты точки M(x; y) отрезка AB такой, чтоDivide the segment AB, connecting the points A(x1; y1) and B(x2; y2), in a given ratio λ > 0, i.e. find the coordinates of a point M(x; y) of the segment AB such that

AM/MB = λ.

Введём в рассмотрение векторы AM и MB. Точка M делит отрезок AB в отношении λ, еслиLet's introduce the vectors AM and MB. The point M divides the segment AB in the ratio λ if

AM = λ · MB.   (9.1)

Но AM = (x - x1; y - y1), т. е. AM = (x-x1)i + (y-y1)j, и MB = (x2-x; y2-y), т. е. MB = (x2-x)i + (y2-y)j. Уравнение (9.1) принимает видBut AM = (x - x1; y - y1), i.e. AM = (x-x1)i + (y-y1)j, and MB = (x2-x; y2-y), i.e. MB = (x2-x)i + (y2-y)j. Equation (9.1) takes the form

(x - x1)·i + (y - y1)·j = λ(x2 - x)·i + λ(y2 - y)·j.

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаемTaking into account that equal vectors have equal coordinates, we obtain

x - x1 = λx2 - λx,   т. е.   x = (x1 + λx2) / (1 + λ)   (9.2)

иand

y - y1 = λy2 - λy,   т. е.   y = (y1 + λy2) / (1 + λ).   (9.3)

Замечание. Если λ = 0, то это означает, что точки A и M совпадают, если λ < 0, то точка M лежит вне отрезка AB — говорят, что M делит отрезок AB внешним образом (λ ≠ -1, т. к. в противном случае AM/MB = -1, т. е. AM + MB = 0, т. е. AB = 0).Remark. If λ = 0, this means the points A and M coincide; if λ < 0, the point M lies outside the segment AB — one says M divides AB externally (λ ≠ -1, since otherwise AM/MB = -1, i.e. AM + MB = 0, i.e. AB = 0).

Вывод формул (9.2)–(9.3) — это то же самое рассуждение, что и в доказательстве Следствия 5.2 (проекции равных векторов равны) и в определении равенства векторов (5.1: равные координаты у равных векторов), только «в обратную сторону»: там из геометрического равенства выводилось числовое равенство координат, здесь наоборот — числовое равенство координат левой и правой части уравнения (9.1) даёт систему на x и y. Обратите внимание на структуру формул (9.2)–(9.3): каждая координата точки M — это взвешенное среднее соответствующих координат A и B с весами 1 и λ (нормированными делением на 1+λ) — тот же принцип «взвешенного среднего», который встретится позже в физических приложениях (например, центр масс).The derivation of formulas (9.2)–(9.3) is the same reasoning as in the proof of Corollary 5.2 (the projections of equal vectors are equal) and in the definition of vector equality (5.1: equal vectors have equal coordinates), only "in reverse": there, geometric equality led to a numerical equality of coordinates; here, conversely, the numerical equality of the left and right sides of equation (9.1) gives a system for x and y. Notice the structure of formulas (9.2)–(9.3): each coordinate of M is a weighted average of the corresponding coordinates of A and B with weights 1 and λ (normalized by dividing by 1+λ) — the same "weighted average" principle that will reappear later in physical applications (e.g. the center of mass).

Требуется найти площадь треугольника ABC с вершинами A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).Find the area of the triangle ABC with vertices A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

Опустим из вершин A, B, C перпендикуляры AA1, BB1, CC1 на ось Ox. Очевидно, чтоDrop perpendiculars AA1, BB1, CC1 from the vertices A, B, C onto the axis Ox. Clearly,

S_ABC = S_AA1B1B + S_BB1CC1 - S_AA1CC1.

ПоэтомуHence

S_ABC = (y1+y2)/2 · (x2-x1) + (y2+y3)/2 · (x3-x2) - (y1+y3)/2 · (x3-x1).

S_ABC = (1/2)[(x2y1 - x1y1 + x2y2 - x1y2) + (x3y2 - x2y2 + x3y3 - x2y3)
             - (x3y1 - x1y1 + x3y3 - x1y3)]
      = (1/2)[x2y1 - x1y2 - x2y3 + x3y2 + x1y3 - x3y1]

S_ABC = (1/2)[(x2-x1)(y3-y1) - (x3-x1)(y2-y1)]
      = (1/2)|(y2-y1)(x3-x1) - (y3-y1)(x2-x1)|

S_Δ = (1/2) | x3-x1  x2-x1 |
             | y3-y1  y2-y1 |

Замечание. Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки A, B, C лежат на одной прямой; если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.Remark. If the computation of the triangle's area gives S = 0, this means the points A, B, C lie on a single line; if a negative number is obtained, its absolute value should be taken.

Смотрите, насколько буквально это повторяет 7.4 (площадь параллелограмма/треугольника через векторное произведение) и 8.1 (объём параллелепипеда через смешанное произведение, знак = ориентация): столбцы определителя здесь — это в точности координаты векторов CA = (x1-x3; y1-y3) и CB = (x2-x3; y2-y3) (с точностью до порядка и знака), а определитель 2×2 — это плоский аналог векторного произведения из 7.3, где вместо полноценного вектора-результата остаётся только его «z-компонента» (единственная ненулевая координата, если оба исходных вектора лежат в плоскости Oxy). Замечание про S=0 — тот же самый критерий вырожденности, что уже встречался трижды: нулевой определитель (2.1, 3.1), коллинеарность через нулевое векторное произведение (7.2), компланарность через нулевое смешанное произведение (8.2) — здесь он проявляется как «три точки лежат на одной прямой».See how literally this repeats 7.4 (parallelogram/triangle area via the cross product) and 8.1 (parallelepiped volume via the scalar triple product, sign = orientation): the columns of the determinant here are exactly the coordinates of the vectors CA = (x1-x3; y1-y3) and CB = (x2-x3; y2-y3) (up to order and sign), and the 2×2 determinant is the planar analogue of the cross product from 7.3, where instead of a full vector result only its "z-component" remains (the sole nonzero coordinate, if both original vectors lie in the plane Oxy). The remark about S=0 is the same degeneracy criterion already seen three times: a zero determinant (2.1, 3.1), collinearity via a zero cross product (7.2), coplanarity via a zero scalar triple product (8.2) — here it manifests as "three points lie on a single line."