9.1 — Глава III, §9. Система координат на плоскости9.1 — Chapter III, §9. The coordinate system in the plane
Аналитическая геометрия начинается с того же самого шага, который уже был сделан для векторов в 5.4: превратить геометрический объект (точку) в пару чисел. Но здесь этот шаг выходит на первый план и становится главным инструментом: вместо того чтобы доказывать геометрические факты «по чертежу», их сводят к алгебре над координатами — тот же переход, что уже был опробован для векторов, только теперь применяется к точкам, линиям и, позже, кривым второго порядка. Полярная система координат — не запасной вариант «на всякий случай», а инструмент, который иногда упрощает задачу radикально (в первую очередь — для кривых, у которых естественный центр симметрии, как у окружности или спирали).Analytic geometry starts with the same step already taken for vectors in 5.4: turning a geometric object (a point) into a pair of numbers. But here this step moves to center stage and becomes the main tool: instead of proving geometric facts "by drawing," they're reduced to algebra over coordinates — the same shift already tried for vectors, now applied to points, curves, and, later, second-order curves. The polar coordinate system isn't a backup "just in case" — it's a tool that sometimes simplifies a problem radically (especially for curves with a natural center of symmetry, like a circle or a spiral).
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.By a coordinate system in the plane is meant a method allowing the position of a point in the plane to be numerically described. One such system is the rectangular (Cartesian) coordinate system.
Прямоугольная система координат задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения O — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Ox), другую — осью ординат (осью Oy).A rectangular coordinate system is set up by two mutually perpendicular lines — axes, on each of which a positive direction is chosen and a unit (scale) segment is set. The unit of scale is usually taken to be the same for both axes. These axes are called the coordinate axes, and their intersection point O is called the origin. One of the axes is called the axis of abscissas (the Ox axis), the other — the axis of ordinates (the Oy axis).
Рис. 23. Прямоугольная система координат Oxy: точка M(x; y), радиус-вектор OM, орты i, jFig. 23. The rectangular coordinate system Oxy: point M(x; y), position vector OM, unit vectors i, j
На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты).In figures, the axis of abscissas is usually drawn horizontally, directed left to right, and the axis of ordinates vertically, directed bottom to top. The coordinate axes divide the plane into four regions — quadrants.
Единичные векторы осей обозначают i и j (|i| = |j| = 1, i ⊥ j). Систему координат обозначают Oxy (или Oij), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.The unit vectors of the axes are denoted i and j (|i| = |j| = 1, i ⊥ j). The coordinate system is denoted Oxy (or Oij), and the plane on which the coordinate system is set up is called the coordinate plane.
Заметьте: эта конструкция — буквально то же самое, что 3D-разложение вектора по ортам i, j, k из 5.4, только на одну ось (z) меньше. Формулы этого параграфа окажутся частным случаем формул из Главы II, если просто убрать координату z — не новая теория, а проекция уже известной на плоскость.Notice: this construction is literally the same as the 3D decomposition of a vector along the unit vectors i, j, k from 5.4, just with one axis (z) fewer. The formulas in this section will turn out to be a special case of the formulas from Chapter II, obtained simply by dropping the coordinate z — not a new theory, but a projection of an already-known one onto the plane.
Рассмотрим произвольную точку M плоскости Oxy. Вектор OM называется радиусом-вектором точки M.Consider an arbitrary point M of the plane Oxy. The vector OM is called the position vector of the point M.
Координатами точки M в системе координат Oxy (Oij) называются координаты радиуса-вектора OM. Если OM = (x; y), то координаты точки M записывают так: M(x; y), число x называется абсциссой точки M, y — ординатой точки M.The coordinates of the point M in the coordinate system Oxy (Oij) are the coordinates of the position vector OM. If OM = (x; y), the coordinates of M are written as M(x; y), the number x being called the abscissa of M, and y the ordinate of M.
Эти два числа x и y полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел x и y соответствует единственная точка M плоскости, и наоборот.These two numbers x and y fully determine the position of the point in the plane, namely: to each pair of numbers x and y there corresponds a unique point M of the plane, and conversely.
Способ определения положения точек с помощью чисел (координат) называется методом координат. Сущность метода координат на плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопоставляется её уравнение. Свойства этой линии изучаются путём исследования уравнения линии.The method of determining the position of points using numbers (coordinates) is called the coordinate method. The essence of the coordinate method in the plane is that a line on it is, as a rule, associated with its equation. The properties of the line are studied by investigating the line's equation.
Эта последняя фраза — программное заявление всей аналитической геометрии, и стоит остановиться на ней: раньше (в школьной геометрии) фигуру изучали через её геометрические свойства (углы, длины, симметрии), а здесь предлагается изучать фигуру через алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют её точки. Это не просто удобный трюк — это смена самого языка описания: вопрос «пересекаются ли две линии» становится вопросом «имеет ли решения система двух уравнений» (см. 10.1), а геометрическая интуиция уступает место вычислению.This last statement is a manifesto for all of analytic geometry, and it's worth pausing on: previously (in school geometry) a figure was studied through its geometric properties (angles, lengths, symmetries), whereas here the proposal is to study a figure through the algebraic equation its points satisfy. This isn't merely a convenient trick — it's a shift in the very language of description: the question "do two lines intersect" becomes the question "does a system of two equations have solutions" (see 10.1), and geometric intuition gives way to computation.
Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задаётся точкой O, называемой полюсом, лучом Op, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Op.Another practically important coordinate system is the polar coordinate system. A polar coordinate system is set up by a point O, called the pole, a ray Op, called the polar axis, and a unit vector e in the same direction as the ray Op.
Возьмём на плоскости точку M, не совпадающую с O. Положение точки M определяется двумя числами: её расстоянием r от полюса O и углом φ, образованным отрезком OM с полярной осью (отсчёт углов ведётся в направлении, противоположном движению часовой стрелки).Take a point M in the plane, not coinciding with O. The position of M is determined by two numbers: its distance r from the pole O, and the angle φ formed by the segment OM with the polar axis (angles are measured counterclockwise).
Рис. 24. Полярные координаты точки M: полюс O, полярная ось Op, орт e, полярный радиус r и полярный угол φFig. 24. The polar coordinates of a point M: pole O, polar axis Op, unit vector e, polar radius r and polar angle φ
Числа r и φ называются полярными координатами точки M, пишут M(r; φ), при этом r называют полярным радиусом, φ — полярным углом.The numbers r and φ are called the polar coordinates of the point M, written M(r; φ), with r called the polar radius and φ the polar angle.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (-π; π] (или 0 ≤ φ < 2π), а полярный радиус — [0; ∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме O) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно.To obtain all points of the plane, it suffices to restrict the polar angle φ to the interval (-π; π] (or 0 ≤ φ < 2π), and the polar radius to [0; ∞). In that case each point of the plane (except O) corresponds to a unique pair of numbers r and φ, and conversely.
Обратите внимание на структурную симметрию с прямоугольными координатами, но и на принципиальное отличие: прямоугольные координаты (x; y) измеряют «сдвиг вдоль двух фиксированных направлений», а полярные (r; φ) — «как далеко» и «в какую сторону», то есть используют идею орта e из 5.1 напрямую (полярный радиус — это модуль, полярный угол — это направление). Полюс O здесь — единственная точка, у которой нет полярного угла (как у нулевого вектора нет направления, см. 5.1) — и потому она единственная исключена из взаимно однозначного соответствия.Notice the structural symmetry with rectangular coordinates, but also the fundamental difference: rectangular coordinates (x; y) measure "displacement along two fixed directions," while polar coordinates (r; φ) measure "how far" and "which way" — that is, they directly use the versor idea from 5.1 (the polar radius is the magnitude, the polar angle is the direction). The pole O here is the one point that has no polar angle (just as the zero vector has no direction, see 5.1) — and that's exactly why it's the one point excluded from the one-to-one correspondence.
Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс O с началом координат системы Oxy, а полярную ось — с положительной полуосью Ox. Пусть x и y — прямоугольные координаты точки M, а r и φ — её полярные координаты.Let's establish the relation between rectangular and polar coordinates. To do this, align the pole O with the origin of the system Oxy, and the polar axis with the positive semi-axis Ox. Let x and y be the rectangular coordinates of the point M, and r and φ its polar coordinates.
Рис. 25. Полюс O совмещён с началом координат, полярная ось — с осью Ox: точка M одновременно в координатах (x;y) и (r;φ)Fig. 25. The pole O aligned with the origin, the polar axis with the Ox axis: the point M simultaneously in coordinates (x;y) and (r;φ)
Из рисунка 25 видно, что прямоугольные и полярные координаты точки M выражаются следующим образом:From figure 25 it is seen that the rectangular and polar coordinates of the point M are expressed as follows:
x = r · cos φ, r = √(x² + y²),
y = r · sin φ; tg φ = y / x.Определяя величину φ, следует установить (по знакам x и y) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -π < φ ≤ π.In determining the value of φ, the quadrant in which the required angle lies should be established (by the signs of x and y), keeping in mind that -π < φ ≤ π.
Левая пара формул (x = r cos φ, y = r sin φ) — это в точности проекция вектора a на ось (свойство 1 из 5.3), применённая к вектору OM = e^0 · r: r играет роль модуля вектора, φ — роль угла с осью. Правая пара (r = √(x²+y²), tg φ = y/x) получается «обратным ходом», и здесь как раз кроется главная практическая тонкость: формула tg φ = y/x сама по себе даёт бесконечно много решений (тангенс периодичен с периодом π, а не 2π), поэтому одной этой формулы недостаточно — необходимо ещё явно смотреть на знаки x и y, чтобы выбрать правильную четверть. Это разобрано детально в Примере 9.1 ниже.The left pair of formulas (x = r cos φ, y = r sin φ) is exactly the projection of a vector a onto an axis (Property 1 from 5.3), applied to the vector OM = e^0 · r: r plays the role of the vector's magnitude, φ the role of the angle with the axis. The right pair (r = √(x²+y²), tg φ = y/x) is obtained by "working backward," and this is exactly where the main practical subtlety lies: the formula tg φ = y/x by itself yields infinitely many solutions (tangent is periodic with period π, not 2π), so this formula alone is not enough — the signs of x and y must be examined explicitly to pick the correct quadrant. This is worked out in detail in Example 9.1 below.
Дана точка M(-1; -√3). Найти полярные координаты точки M.Given the point M(-1; -√3). Find the polar coordinates of the point M.
Решение. Шаг 1 — найти полярный радиус r. По формуле r = √(x²+y²) с x = -1, y = -√3:Solution. Step 1 — find the polar radius r. By the formula r = √(x²+y²) with x = -1, y = -√3:
r = √((-1)² + (-√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.Шаг 2 — найти tg φ.Step 2 — find tg φ.
tg φ = y/x = (-√3)/(-1) = √3.Шаг 3 — решить уравнение tg φ = √3 в общем виде. Стандартное (табличное) решение этого уравнения: φ = π/3 + πn, n ∈ ℤ — это семейство углов, отличающихся друг от друга на π (период тангенса), а не на 2π. Именно поэтому одной этой формулы недостаточно для однозначного ответа: нужно ещё выбрать правильное n.Step 3 — solve the equation tg φ = √3 in general form. The standard (table) solution to this equation is φ = π/3 + πn, n ∈ ℤ — a family of angles differing from one another by π (the period of tangent), not by 2π. That's exactly why this formula alone isn't enough for a unique answer: the correct n must still be chosen.
Шаг 4 — выбрать правильную четверть по знакам x и y. И x = -1 < 0, и y = -√3 < 0 — значит, точка M лежит в 3-й четверти (обе координаты отрицательны). При n = 0 получаем φ = π/3 — это угол в 1-й четверти (0 < π/3 < π/2), что не подходит. Нужно взять n = -1: φ = π/3 - π = -2π/3. Проверим четверть: угол -2π/3 (то есть -120°) откладывается по часовой стрелке от положительной полуоси Ox и действительно попадает в 3-ю четверть.Step 4 — pick the correct quadrant from the signs of x and y. Both x = -1 < 0 and y = -√3 < 0 — so the point M lies in the 3rd quadrant (both coordinates negative). For n = 0 we get φ = π/3 — an angle in the 1st quadrant (0 < π/3 < π/2), which doesn't fit. We must take n = -1: φ = π/3 - π = -2π/3. Checking the quadrant: the angle -2π/3 (i.e. -120°) is laid off clockwise from the positive semi-axis Ox and indeed lands in the 3rd quadrant.
Итак, полярные координаты точки M есть r = 2, φ = -2π/3, т. е. M(2; -2π/3).So, the polar coordinates of the point M are r = 2, φ = -2π/3, i.e. M(2; -2π/3).
Проверка (не входит в оригинальный текст): подставим r = 2, φ = -2π/3 обратно в прямую формулу. cos(-2π/3) = -1/2, поэтому x = r cos φ = 2·(-1/2) = -1 ✓. sin(-2π/3) = -√3/2, поэтому y = r sin φ = 2·(-√3/2) = -√3 ✓. Оба совпадают с исходными координатами точки M.Check (not part of the original text): substitute r = 2, φ = -2π/3 back into the direct formula. cos(-2π/3) = -1/2, so x = r cos φ = 2·(-1/2) = -1 ✓. sin(-2π/3) = -√3/2, so y = r sin φ = 2·(-√3/2) = -√3 ✓. Both match the original coordinates of the point M.
Самая частая ошибка при переходе от прямоугольных координат к полярным — взять «главное значение» arctg(y/x) и остановиться на этом, не проверив, в какой четверти реально лежит точка. Функция tg не различает противоположные направления (tg φ = tg(φ+π)), поэтому точки (1;1) и (-1;-1) дают одинаковое отношение y/x = 1, но лежат в разных четвертях (1-й и 3-й) и должны получить разные полярные углы. См. Пример 9.1, шаг 4, где это разобрано явно.The most common mistake when converting from rectangular to polar coordinates is to take the "principal value" arctg(y/x) and stop there, without checking which quadrant the point actually lies in. The function tg doesn't distinguish opposite directions (tg φ = tg(φ+π)), so the points (1;1) and (-1;-1) give the same ratio y/x = 1, but lie in different quadrants (1st and 3rd) and must receive different polar angles. See Example 9.1, Step 4, where this is worked out explicitly.
Определение полярных координат явно требует M ≠ O: у полюса r = 0, и угол φ в этой точке не определён (аналогично тому, как нулевой вектор не имеет направления, см. 5.1). Формально это означает, что взаимно однозначное соответствие «точка плоскости ↔ пара (r;φ)» не работает ровно в одной точке — исключение, о котором легко забыть при обобщении рассуждений на «любую точку плоскости».The definition of polar coordinates explicitly requires M ≠ O: at the pole, r = 0, and the angle φ at that point is undefined (analogous to how the zero vector has no direction, see 5.1). Formally, this means the one-to-one correspondence "point of the plane ↔ pair (r;φ)" fails at exactly one point — an exception easy to forget when generalizing arguments to "any point of the plane."
источникsource
Определения (система координат, прямоугольная система, координаты точки, метод координат, полярная система, полярные координаты, формулы перехода), Пример 9.1 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава III, §9.1 «Основные понятия», с. 58–60. Связь с ортом из §5.1 и разложением вектора из §5.4, шаги 3–4 и проверка в Примере 9.1, раздел «Грабли» — авторское дополнение.Definitions (coordinate system, rectangular system, coordinates of a point, coordinate method, polar system, polar coordinates, transition formulas), Example 9.1 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter III, §9.1 "Basic Concepts," pp. 58–60. The connection to the versor from §5.1 and the vector decomposition from §5.4, steps 3–4 and the check in Example 9.1, and the "Gotchas" section are original additions.