8.4 — Глава II, §8. Смешанное произведение векторов8.4 — Chapter II, §8. The scalar triple product of vectors
Эта страница — финал не только §8, но и всей Главы II «Элементы векторной алгебры»: здесь три приложения (ориентация, компланарность, объём) буквально пожинают плоды всего, что было построено с §5 по §8. Пример 8.1 (объём пирамиды по координатам вершин) — идеальная демонстрация того, зачем нужен весь этот аппарат: сложная геометрическая задача о трёхмерном теле сводится к вычитанию координат (5.5) и одному определителю 3×3 (2.1, 8.3) — ни одного чертежа не потребовалось.This page is the finale not just of §8, but of all of Chapter II, "Elements of Vector Algebra": here, three applications (orientation, coplanarity, volume) literally reap what was sown across §5 through §8. Example 8.1 (the volume of a pyramid from its vertex coordinates) is a perfect demonstration of why this whole apparatus exists: a complex geometric problem about a three-dimensional solid reduces to subtracting coordinates (5.5) and one 3×3 determinant (2.1, 8.3) — not a single drawing was needed.
Определение взаимной ориентации векторов a, b и c основано на следующих соображениях. Если abc > 0, то a, b, c — правая тройка; если abc < 0, то a, b, c — левая тройка.Determining the mutual orientation of vectors a, b, and c rests on the following considerations. If abc > 0, then a, b, c is a right-handed triple; if abc < 0, then a, b, c is a left-handed triple.
Это прямое применение геометрического смысла из 8.1 (abc = ±V, знак = ориентация) — вычислительный тест, заменяющий воображаемое «представление поворота против/по часовой стрелке» из определения 7.1 на вычисление одного определителя. Раньше (в 7.1) ориентацию нужно было определять «на глаз», глядя на чертёж; теперь — одним числовым знаком.This is a direct application of the geometric meaning from 8.1 (abc = ±V, sign = orientation) — a computational test replacing the imagined "picture the rotation clockwise/counterclockwise" from the definition in 7.1 with the computation of a single determinant. Previously (in 7.1), orientation had to be judged "by eye," looking at a drawing; now, by a single numeric sign.
Векторы a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0):Vectors a, b, and c are coplanar if and only if their scalar triple product equals zero (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0):
abc = | a_x a_y a_z |
| b_x b_y b_z | = 0 ⟺ векторы a, b, c компланарны.
| c_x c_y c_z |Это координатная запись свойства 4 из 8.2, теперь связанная напрямую с 8.3: проверка компланарности трёх векторов в пространстве свелась к вычислению одного определителя 3×3 — той же процедуре, что уже использовалась для проверки линейной зависимости строк матрицы (см. 3.1, 3.3). Понятие компланарности, введённое качественно ещё в 5.1 («лежат в одной плоскости»), получило здесь окончательную вычислительную форму.This is the coordinate form of Property 4 from 8.2, now directly linked to 8.3: checking the coplanarity of three vectors in space reduces to computing a single 3×3 determinant — the same procedure already used to check the linear dependence of a matrix's rows (see 3.1, 3.3). The notion of coplanarity, introduced qualitatively back in 5.1 ("lie in one plane"), gets its final computational form here.
Нетрудно показать, что объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, вычисляется как V = |abc|, а объём треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = (1/6)|abc|.It's not hard to show that the volume of a parallelepiped built on vectors a, b, and c is computed as V = |abc|, and the volume of the triangular pyramid built on these same vectors equals V = (1/6)|abc|.
Коэффициент 1/6 — не произвольное число: тетраэдр (треугольная пирамида) составляет ровно 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на тех же трёх рёбрах, выходящих из общей вершины. Это тот же принцип «половина от целого», что уже встречался в 7.4 (площадь треугольника — половина площади параллелограмма), только в трёхмерном случае коэффициент — 1/6 = (1/3)·(1/2): множитель 1/3 приходит из формулы объёма пирамиды через площадь основания и высоту (V = (1/3)·S_осн·h — факт из школьной стереометрии, здесь не выводится, а используется), а множитель 1/2 — из перехода от параллелограмма-основания к треугольнику-основанию, ровно как в 7.4.The coefficient 1/6 isn't arbitrary: a tetrahedron (triangular pyramid) occupies exactly 1/6 of the volume of the parallelepiped built on the same three edges emanating from a common vertex. This is the same "half of the whole" principle already seen in 7.4 (a triangle's area is half a parallelogram's), only in the three-dimensional case the coefficient is 1/6 = (1/3)·(1/2): the 1/3 factor comes from the formula for a pyramid's volume via base area and height (V = (1/3)·S_base·h — a fact from school-level solid geometry, used here rather than derived), and the 1/2 factor comes from the transition from a parallelogram base to a triangular base, exactly as in 7.4.
Вершинами пирамиды служат точки A(1;2;3), B(0;-1;1), C(2;5;2) и D(3;0;-2). Найти объём пирамиды.The vertices of the pyramid are the points A(1;2;3), B(0;-1;1), C(2;5;2), and D(3;0;-2). Find the volume of the pyramid.
Решение. Шаг 1 — выбор общей вершины и составление векторов. Возьмём A как общую вершину (аналогично 7.4, где площадь треугольника считалась через векторы из общей точки) и составим три вектора-ребра, исходящих из неё, по формуле «конец минус начало» (см. 5.5):Solution. Step 1 — choosing a common vertex and forming the vectors. Take A as the common vertex (similar to 7.4, where the triangle's area was computed via vectors from a common point) and form three edge vectors emanating from it, using the "end minus start" formula (see 5.5):
a = AB = (0-1; -1-2; 1-3) = (-1; -3; -2),
b = AC = (2-1; 5-2; 2-3) = (1; 3; -1),
c = AD = (3-1; 0-2; -2-3) = (2; -2; -5).Шаг 2 — вычисление смешанного произведения abc. Составляем определитель из координат этих трёх векторов (см. формулу из 8.3) и раскладываем по первой строке:Step 2 — computing the scalar triple product abc. Form the determinant from the coordinates of these three vectors (see the formula from 8.3) and expand along the first row:
abc = | -1 -3 -2 |
| 1 3 -1 |
| 2 -2 -5 |
= -1·| 3 -1 | - (-3)·| 1 -1 | + (-2)·| 1 3 |
| -2 -5 | | 2 -5 | | 2 -2 |
= -1·(3·(-5) - (-2)·(-1)) + 3·(1·(-5) - 2·(-1)) - 2·(1·(-2) - 2·3)
= -1·(-15 - 2) + 3·(-5 + 2) - 2·(-2 - 6)
= -1·(-17) + 3·(-3) - 2·(-8)
= 17 - 9 + 16 = 24.Шаг 3 — вычисление объёма пирамиды. По формуле V = (1/6)|abc|:Step 3 — computing the volume of the pyramid. By the formula V = (1/6)|abc|:
V = (1/6)·|24| = (1/6)·24 = 4.Следовательно, V = 4 (единицы объёма).Therefore, V = 4 (volume units).
Дополнительное наблюдение (не входит в оригинальный текст): раз abc = 24 > 0, тройка векторов AB, AC, AD — правая (см. приложение «ориентация» выше). А раз abc ≠ 0, векторы не компланарны — то есть четыре вершины A, B, C, D действительно образуют невырожденный тетраэдр, а не четыре точки в одной плоскости (что и должно было получиться, раз задача просит найти объём пирамиды).Additional observation (not part of the original text): since abc = 24 > 0, the triple of vectors AB, AC, AD is right-handed (see the "orientation" application above). And since abc ≠ 0, the vectors aren't coplanar — meaning the four vertices A, B, C, D genuinely form a non-degenerate tetrahedron, not four points lying in one plane (as expected, since the problem asks for the volume of a pyramid).
Формулы V = |abc| и V = (1/6)|abc| содержат модуль не случайно: сам abc может быть отрицательным (если тройка векторов левая), но объём — величина по определению неотрицательная. Забыть модуль и написать «объём пирамиды равен -4» (если бы знак в примере оказался минусом) — типичная ошибка, путающая ориентированный объём (число со знаком, несущее информацию об ориентации) с обычным геометрическим объёмом (всегда ≥ 0).The formulas V = |abc| and V = (1/6)|abc| contain the absolute value for a reason: abc itself can be negative (if the triple of vectors is left-handed), but volume is, by definition, a nonnegative quantity. Forgetting the absolute value and writing "the pyramid's volume is -4" (had the sign in the example come out negative) is a typical mistake that conflates the signed volume (a number with a sign, carrying orientation information) with ordinary geometric volume (always ≥ 0).
В Примере 8.1 вершина A выбрана общей произвольно — с тем же успехом можно было взять B, составив векторы BA, BC, BD, и получить (с точностью до знака и порядка, влияющего на ориентацию, но не на модуль) тот же объём. Важно не смешивать векторы, исходящие из разных вершин, в одном определителе — иначе получится не объём тетраэдра ABCD, а какая-то другая, не имеющая прямого геометрического смысла величина.In Example 8.1, vertex A is chosen as the common one arbitrarily — vertex B could just as well have been used, forming the vectors BA, BC, BD, yielding (up to sign and order, which affect orientation but not magnitude) the same volume. It's important not to mix vectors originating from different vertices in the same determinant — otherwise the result isn't the volume of tetrahedron ABCD, but some other quantity with no direct geometric meaning.
источникsource
Определение ориентации, критерий компланарности, объём параллелепипеда/пирамиды и Пример 8.1 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §8.4 «Некоторые приложения смешанного произведения», с. 57. Пошаговая расшифровка Примера 8.1, дополнительное наблюдение об ориентации/компланарности и раздел «Грабли» — авторское дополнение.The definition of orientation, the coplanarity criterion, the volume of a parallelepiped/pyramid, and Example 8.1 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §8.4 "Some Applications of the Scalar Triple Product," p. 57. The step-by-step breakdown of Example 8.1, the additional observation on orientation/coplanarity, and the "Gotchas" section are original additions.