8.3 — Глава II, §8. Смешанное произведение векторов8.3 — Chapter II, §8. The scalar triple product of vectors
Этот параграф закрывает круг, который был открыт в самом начале курса: смешанное произведение трёх векторов оказывается в точности определителем 3×3, составленным из координат этих векторов — тем же самым объектом, с которого начиналась Глава I (§2). Всё, что было доказано про определители «в отрыве от геометрии» — знак при перестановке строк (свойство 2, см. 2.2), разложение по строке (свойство 7) — автоматически переносится на свойства смешанного произведения (свойства 1–3 из 8.2), потому что это буквально одно и то же число, посчитанное дважды: один раз через геометрию (объём параллелепипеда), другой раз через алгебру (определитель).This section closes a circle opened at the very start of the course: the scalar triple product of three vectors turns out to be exactly the 3×3 determinant formed from these vectors' coordinates — the same object Chapter I (§2) began with. Everything already proven about determinants "apart from geometry" — the sign flip under swapping rows (Property 2, see 2.2), row expansion (Property 7) — carries over automatically to the properties of the scalar triple product (Properties 1–3 from 8.2), because it's literally the same number computed twice: once via geometry (the parallelepiped's volume), once via algebra (the determinant).
Пусть заданы векторы a = a_x·i + a_y·j + a_z·k, b = b_x·i + b_y·j + b_z·k, c = c_x·i + c_y·j + c_z·k. Найдём их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:Let vectors a = a_x·i + a_y·j + a_z·k, b = b_x·i + b_y·j + b_z·k, c = c_x·i + c_y·j + c_z·k be given. Let's find their scalar triple product, using the coordinate expressions for the cross and dot products.
Сначала находим векторное произведение a × b по формуле (7.1) из 7.3:First, find the cross product a × b via formula (7.1) from 7.3:
(a × b) · c = | | a_y a_z | · i - | a_x a_z | · j + | a_x a_y | · k | · c
| | b_y b_z | | b_x b_z | | b_x b_y | |Теперь скалярно умножаем полученный вектор на c = c_x·i + c_y·j + c_z·k, применяя координатную формулу скалярного произведения (см. 6.3, где каждая координата умножается на одноимённую):Now dot-multiply the resulting vector by c = c_x·i + c_y·j + c_z·k, applying the coordinate formula for the dot product (see 6.3, where each coordinate is multiplied by its like-named counterpart):
(a × b) · c = | a_y a_z | · c_x - | a_x a_z | · c_y + | a_x a_y | · c_z. (8.1)
| b_y b_z | | b_x b_z | | b_x b_y |Полученную формулу можно записать короче:The resulting formula can be written more compactly:
abc = | a_x a_y a_z |
| b_x b_y b_z |
| c_x c_y c_z |так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.since the right-hand side of equality (8.1) represents the expansion of a third-order determinant along the elements of the third row. So, the scalar triple product of vectors equals the third-order determinant made up of the coordinates of the multiplied vectors.
Это тот самый момент, когда абстрактное «формальное» определение из 7.3 (векторное произведение как определитель со строкой ортов вместо чисел) полностью себя оправдывает: комбинируя его со скалярным произведением, получаем настоящий, «числовой» определитель 3×3 из одних лишь координат — никаких символических ортов уже не остаётся, всё сводится к 2.1 напрямую.This is the moment the abstract, "formal" definition from 7.3 (the cross product as a determinant with a row of unit vectors instead of numbers) fully pays off: combining it with the dot product yields a genuine, "numeric" 3×3 determinant made up of coordinates alone — no symbolic unit vectors remain, everything reduces directly to 2.1.
Теперь становится ясно, откуда взялись свойства 1 и 3 из 8.2 (циклическая перестановка сохраняет знак, перестановка любых двух его меняет) — это в точности свойство 2 определителя из 2.2 (перестановка двух рядов меняет знак определителя), применённое к строкам этого определителя. Циклическая перестановка трёх строк — это композиция двух перестановок соседних строк, а (-1)·(-1) = +1 — знак сохраняется; перестановка одной пары строк — это ровно одна перестановка, знак меняется на противоположный. Больше не нужно доказывать свойства смешанного произведения отдельно — они наследуются от уже доказанных свойств определителя.Now it becomes clear where Properties 1 and 3 from 8.2 come from (cyclic permutation preserves the sign, swapping any two flips it) — this is exactly Property 2 of the determinant from 2.2 (swapping two rows flips the determinant's sign), applied to the rows of this determinant. A cyclic permutation of three rows is a composition of two adjacent-row swaps, and (-1)·(-1) = +1 — the sign is preserved; swapping a single pair of rows is exactly one swap, and the sign flips. There's no longer any need to prove the properties of the scalar triple product separately — they're inherited from the already-proven properties of the determinant.
Решение. Составляем определитель и раскладываем по первой строке (метод из 2.1–2.2):Solution. Form the determinant and expand along the first row (the method from 2.1–2.2):
abc = | 1 2 0 |
| 0 1 3 |
| 2 0 1 |
= 1·| 1 3 | - 2·| 0 3 | + 0·| 0 1 |
| 0 1 | | 2 1 | | 2 0 |
= 1·(1·1 - 0·3) - 2·(0·1 - 2·3) + 0
= 1·1 - 2·(-6) + 0 = 1 + 12 = 13.Итак, abc = 13 ≠ 0 — по свойству 4 (см. 8.2) векторы a, b, c не компланарны, а объём параллелепипеда, построенного на них, равен |abc| = 13 (единицы объёма). Знак «плюс» означает, что тройка a, b, c правая (см. геометрический смысл в 8.1).So, abc = 13 ≠ 0 — by Property 4 (see 8.2), the vectors a, b, c are not coplanar, and the volume of the parallelepiped built on them equals |abc| = 13 (volume units). The "plus" sign means the triple a, b, c is right-handed (see the geometric meaning in 8.1).
Раз перестановка любых двух векторов меняет знак смешанного произведения (свойство 3, см. 8.2 — теперь понятое через определитель), критически важно записывать координаты a, b, c в определитель именно в том порядке, в котором они умножаются в abc. Записать координаты b первой строкой, а a — второй, означает вычислить bac = -abc — тот же по модулю объём, но с противоположным знаком.Since swapping any two vectors flips the sign of the scalar triple product (Property 3, see 8.2 — now understood via the determinant), it's critical to write the coordinates of a, b, c into the determinant in exactly the order they're multiplied in abc. Writing b's coordinates as the first row and a's as the second computes bac = -abc — the same magnitude, but with the opposite sign.
Проверка «abc = 0?» из свойства 4 (см. 8.2) — это, вычислительно, ровно та же проверка, что и «det A = 0?» из 3.1 для матрицы, составленной из строк-координат a, b, c. Если три вектора компланарны, значит, они линейно зависимы (один выражается через два других), а значит, ранг составленной из них матрицы меньше 3 (см. 3.3) — определитель обнуляется по тем же причинам, по каким обнуляется определитель любой вырожденной матрицы.The check "abc = 0?" from Property 4 (see 8.2) is, computationally, exactly the same check as "det A = 0?" from 3.1 for the matrix formed from the coordinate rows of a, b, c. If three vectors are coplanar, they are linearly dependent (one is expressible via the other two), so the rank of the matrix formed from them is less than 3 (see 3.3) — the determinant vanishes for the same reasons the determinant of any singular matrix vanishes.
источникsource
Вывод формулы (8.1) и координатного определителя — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава II, §8.3 «Выражение смешанного произведения через координаты», с. 56. Числовой пример, связь свойств 1/3 из §8.2 со свойствами определителя и раздел «Грабли» — авторское дополнение.The derivation of formula (8.1) and the coordinate determinant — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter II, §8.3 "Expressing the Scalar Triple Product via Coordinates," p. 56. The numerical example, the connection of Properties 1/3 from §8.2 to the properties of the determinant, and the "Gotchas" section are original additions.