Свойства смешанного произведенияProperties of the scalar triple product

Доказательство. Действительно, в этом случае не изменяется ни объём параллелепипеда, ни ориентация его рёбер.Proof. Indeed, in this case neither the volume of the parallelepiped nor the orientation of its edges changes.

Интуиция: циклическая перестановка (a,b,c) → (b,c,a) → (c,a,b) — это то же самое, что «переименовать, какое ребро параллелепипеда назвать первым» — сам параллелепипед как геометрический объект (и его объём, и ориентация рёбер друг относительно друга) остаётся неизменным. Ровно тот же принцип уже встречался в 7.1: циклический паттерн i×j=k, j×k=i, k×i=j — частный случай этого же свойства для ортов.Intuition: the cyclic permutation (a,b,c) → (b,c,a) → (c,a,b) is the same as "renaming which edge of the parallelepiped to call first" — the parallelepiped itself as a geometric object (both its volume and the orientation of its edges relative to one another) stays unchanged. This is exactly the same principle already seen in 7.1: the cyclic pattern i×j=k, j×k=i, k×i=j is a special case of this very property for the unit vectors.

Доказательство. Действительно, (a×b)·c = ±V и a·(b×c) = (b×c)·a = ±V (последнее равенство — по свойству 1, циклическая перестановка). Знак в правой части обоих равенств берём один и тот же, так как тройки векторов a,b,c и b,c,a — одной ориентации.Proof. Indeed, (a×b)·c = ±V and a·(b×c) = (b×c)·a = ±V (the last equality by Property 1, cyclic permutation). We take the same sign on the right-hand side of both equalities, since the triples of vectors a,b,c and b,c,a have the same orientation.

Это ровно то свойство, которое обосновывает обозначение abc без явных знаков операций, упомянутое в 8.1 — теперь оно доказано, а не просто заявлено.This is exactly the property that justifies the notation abc without explicit operation symbols, mentioned in 8.1 — now it's proven, not merely stated.

Доказательство. Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак (свойство 1 из 7.2 — антикоммутативность).Proof. Indeed, such a swap is equivalent to swapping the factors in the cross product, which flips the sign of the product (Property 1 from 7.2 — anticommutativity).

Свойства 1 и 3 вместе описывают полностью, как ведёт себя знак смешанного произведения под любой из 3! = 6 перестановок трёх векторов: чётные перестановки (циклические сдвиги — свойство 1) сохраняют знак, нечётные (перестановка любых двух — свойство 3) его меняют. Это в точности та же классификация «чётность перестановки определяет знак», что уже встречалась в определении n-местного определителя (сумма по всем перестановкам с чередующимся знаком, см. 2.1) — смешанное произведение трёх векторов и определитель 3×3 из их координат (см. 8.3) оказываются буквально одним и тем же объектом, что подтвердит следующий параграф.Properties 1 and 3 together completely describe how the sign of the scalar triple product behaves under any of the 3! = 6 permutations of the three vectors: even permutations (cyclic shifts — Property 1) preserve the sign, odd ones (swapping any two — Property 3) flip it. This is exactly the same "parity of the permutation determines the sign" classification already seen in the definition of an n-th order determinant (a sum over all permutations with alternating sign, see 2.1) — the scalar triple product of three vectors and the 3×3 determinant of their coordinates (see 8.3) turn out to be literally the same object, as the next section confirms.

Доказательство (прямое направление). Если abc = 0, то a, b, c — компланарны. Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объёмом V ≠ 0. Но так как abc = ±V, то получили бы abc ≠ 0. Это противоречит условию: abc = 0.Proof (forward direction). If abc = 0, then a, b, c are coplanar. Suppose this weren't so. Then a parallelepiped with volume V ≠ 0 could be built. But since abc = ±V, we'd get abc ≠ 0. This contradicts the assumption: abc = 0.

Доказательство (обратное направление). Обратно, пусть векторы a, b, c — компланарны. Тогда вектор d = a × b будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a, b, c, и, следовательно, d ⊥ c. Поэтому d · c = 0, т. е. abc = 0.Proof (reverse direction). Conversely, let the vectors a, b, c be coplanar. Then the vector d = a × b will be perpendicular to the plane in which a, b, c lie, and hence d ⊥ c. Therefore d · c = 0, i.e. abc = 0.

Обратное доказательство красиво тем, что задействует буквально все три произведения главы разом: a×b (векторное) даёт нормаль к плоскости a,b; компланарность c с этой плоскостью означает, что c лежит в той же плоскости, т. е. перпендикулярен нормали; а перпендикулярность нормали и c проверяется скалярным произведением (свойство 5 из 6.2). Три параграфа этой главы сходятся в одном доказательстве.The reverse proof is elegant in that it employs literally all three products of the chapter at once: a×b (the cross product) gives the normal to the plane of a,b; the coplanarity of c with that plane means c lies in the same plane, i.e. is perpendicular to the normal; and the perpendicularity of the normal and c is checked via the dot product (Property 5 from 6.2). Three sections of this chapter converge in a single proof.

Это свойство — прямая геометрическая версия того же паттерна, что уже встречался дважды: a⊥b ⟺ a·b=0 (см. 6.2, свойство 5) и a∥b ⟺ a×b=0 (см. 7.2, свойство 3). Здесь роль «вырожденного состояния» играет компланарность, а роль «алгебраической проверки» — смешанное произведение. В следующем параграфе (8.3) этот критерий получит координатную форму — определитель 3×3, обращающийся в ноль, — замыкая круг с §3.1, где невырожденность матрицы тоже проверялась через равенство определителя нулю.This property is a direct geometric restatement of the same pattern already seen twice: a⊥b ⟺ a·b=0 (see 6.2, Property 5) and a∥b ⟺ a×b=0 (see 7.2, Property 3). Here, the role of the "degenerate state" is played by coplanarity, and the role of the "algebraic check" by the scalar triple product. The next section (8.3) gives this criterion a coordinate form — a 3×3 determinant vanishing — closing the loop with §3.1, where matrix non-singularity was likewise checked via the determinant equaling zero.