Линии на плоскости. Основные понятияCurves in the plane. Basic concepts

Линию на плоскости часто рассматривают как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством (например, окружность — множество точек, равноудалённых от данной точки). Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением данной линии (в выбранной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.A curve in the plane is often viewed as a set of points possessing some geometric property peculiar to them alone (for example, a circle is the set of points equidistant from a given point). An equation in two variables x and y is called the equation of a given curve (in the chosen coordinate system) if this equation is satisfied by the coordinates x and y of every point lying on the curve, and is not satisfied by the coordinates of any point not lying on it.

Определение фиксирует ровно две встречные проверки, а не одну: (1) любая точка на линии подставляется в уравнение и даёт тождество, и (2) любая точка не на линии подставляется в уравнение и тождества не даёт. Про (2) забывают почти всегда — и это ровно то, что отличает уравнение линии от уравнения, которому линия просто «удовлетворяет попутно» (см. Грабли).The definition fixes exactly two checks running in opposite directions, not one: (1) any point on the curve, substituted into the equation, yields an identity, and (2) any point not on the curve, substituted into the equation, does not yield an identity. Condition (2) is almost always the one forgotten — and it's exactly what distinguishes the equation of a curve from an equation the curve merely "happens to satisfy along the way" (see Gotchas).

Задание линии уравнением F(x;y) = 0 — это структурно то же самое действие, что задание системы линейных уравнений в 4.1 (там — совокупность уравнений выделяет множество точек-решений в пространстве координат неизвестных; здесь — одно уравнение выделяет множество точек плоскости) и что определение вектора через координаты в 5.1 (объект полностью описывается числовым соотношением, а не чертежом). Меняется лишь то, что здесь множество решений, как правило, бесконечно и образует не точку и не набор точек, а непрерывную кривую.Defining a curve by an equation F(x;y) = 0 is structurally the same move as defining a system of linear equations in 4.1 (there, a collection of equations picks out the set of solution points in the space of unknowns' coordinates; here, one equation picks out a set of points in the plane) and as defining a vector via coordinates in 5.1 (an object is fully described by a numerical relation rather than a drawing). What changes is only that here the solution set is, as a rule, infinite and forms not a point or a finite collection of points, but a continuous curve.

Уравнение линии позволяет свести изучение геометрических свойств линии (симметрия, пересечения с другими линиями, касание) к изучению свойств функции F — это и есть суть метода координат, заявленная в 9.1, но здесь впервые формально названная своим орудием: не чертёж, а функция двух переменных.The equation of a curve lets the study of the curve's geometric properties (symmetry, intersections with other curves, tangency) be reduced to studying the properties of the function F — this is the essence of the coordinate method announced in 9.1, but here for the first time formally named by its actual instrument: not a drawing, but a function of two variables.

Связь между линией и её уравнением порождает две взаимно обратные задачи аналитической геометрии на плоскости.The connection between a curve and its equation gives rise to two mutually inverse problems of analytic geometry in the plane.

Прямая задача — то, чем занимается §10.2 для прямой линии и позже §11 для окружности/эллипса/гиперболы/параболы: дано геометрическое описание («множество точек, равноудалённых от двух данных» — это определение эллипса), и оно переводится в алгебраическое уравнение. Обратная задача — типичная задача «исследования кривой по уравнению» (форма линии, симметрия, особые точки), к которой аналитическая геометрия и математический анализ возвращаются постоянно после §11.The direct problem is what §10.2 does for the straight line and later §11 for the circle/ellipse/hyperbola/parabola: a geometric description is given ("the set of points equidistant from two given points" is the definition of an ellipse), and it's translated into an algebraic equation. The inverse problem is the typical "investigate a curve from its equation" task (shape of the curve, symmetry, special points), to which analytic geometry and calculus return repeatedly after §11.

Обратите внимание: это ровно та же пара взаимно обратных задач, что уже встречалась в 4.1–4.4 применительно к системам уравнений («по системе найти решение» и «по решению восстановить/проверить систему»), только здесь роль «неизвестных» играют не числа, а точки плоскости, а роль «системы» — уравнение линии.Notice: this is exactly the same pair of mutually inverse problems already seen in 4.1–4.4 for systems of equations ("find the solution from the system" and "recover/verify the system from the solution"), except here the role of "unknowns" is played not by numbers but by points of the plane, and the role of the "system" is played by the equation of the curve.

Наряду с этим линию на плоскости можно задавать параметрическими уравнениямиAlongside this, a curve in the plane can be given by parametric equations

x = x(t),   y = y(t),

где x(t) и y(t) — непрерывные функции параметра t. Здесь координаты точки линии выражаются через вспомогательную переменную, а не связываются друг с другом напрямую, как в F(x;y)=0. Оба способа взаимно переводимы: если из параметрических уравнений исключить параметр t, получится уравнение вида F(x;y)=0 (не всегда это исключение выполнимо элементарно, но принципиально возможно).where x(t) and y(t) are continuous functions of the parameter t. Here the coordinates of a point on the curve are expressed through an auxiliary variable, rather than tied to each other directly as in F(x;y)=0. Both forms are mutually convertible: eliminating the parameter t from the parametric equations yields an equation of the form F(x;y)=0 (this elimination isn't always elementary, but is always possible in principle).

Полярное уравнение линии r = f(φ) (или F(r;φ)=0) — третья равноправная форма, использующая полярные координаты из 9.1 вместо прямоугольных. Выбор формы (декартова F(x;y)=0, параметрическая, полярная) — вопрос удобства для конкретной задачи, а не разные объекты: одна и та же линия допускает все три записи одновременно.The polar equation of a curve r = f(φ) (or F(r;φ)=0) is a third, equally valid form, using the polar coordinates from 9.1 instead of rectangular ones. The choice of form (Cartesian F(x;y)=0, parametric, polar) is a matter of convenience for a specific problem, not a matter of different objects: the same curve admits all three descriptions at once.