12.3 — Глава IV, §12. Аналитическая геометрия в пространстве12.3 — Chapter IV, §12. Analytic geometry in space
Формы уравнения плоскости из 12.2 применяются здесь к трём типичным задачам — точно тем же трём, что 10.3 разбирала для прямой на плоскости (расстояние до объекта, точка/направление, взаимное расположение), только на измерение выше. Расстояние от точки до плоскости — самая важная из трёх: она понадобится сразу в 12.6 при разборе взаимного расположения прямой и плоскости.The forms of a plane's equation from 12.2 are applied here to three typical problems — precisely the same three 10.3 worked through for a line in the plane (distance to the object, a point/direction, relative position), just one dimension up. The distance from a point to a plane is the most important of the three: it will be needed right away in 12.6, when working through the relative position of a line and a plane.
Это в точности уравнение (12.1) из 12.2, здесь лишь выделенное как отдельная типовая задача: дана точка M0(x0;y0;z0) и вектор n=(A;B;C), требуется составить уравнение плоскости, проходящей через M0 перпендикулярно n. Ответ уже готов:This is exactly equation (12.1) from 12.2, singled out here as its own standard problem: given a point M0(x0;y0;z0) and a vector n=(A;B;C), write the equation of the plane through M0 perpendicular to n. The answer is already at hand:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0.Практическая тонкость не в формуле, а в том, откуда берётся вектор n в конкретной задаче: иногда он дан напрямую, иногда его нужно получить как векторное произведение двух неколлинеарных векторов, лежащих в плоскости (7.1) — именно так поступают, если вместо нормали даны точка и два направления.The practical subtlety isn't in the formula but in where the vector n comes from in a specific problem: sometimes it's given directly, sometimes it must be obtained as the cross product of two non-collinear vectors lying in the plane (7.1) — this is exactly the approach when a point and two directions are given instead of a normal.
Пусть плоскость задана общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, а M0(x0;y0;z0) — произвольная точка, не лежащая на ней. Вывод дословно повторяет вывод формулы (10.10) для расстояния от точки до прямой: расстояние d — модуль проекции вектора M1M0 (M1 — любая точка плоскости) на направление нормали, а после использования Ax1+By1+Cz1+D=0 числитель сворачивается в Ax0+By0+Cz0+D.Let a plane be given by the general equation Ax+By+Cz+D=0, and let M0(x0;y0;z0) be an arbitrary point not lying on it. The derivation repeats word for word the derivation of formula (10.10) for the distance from a point to a line: the distance d is the absolute value of the projection of the vector M1M0 (M1 being any point on the plane) onto the direction of the normal, and after using Ax1+By1+Cz1+D=0, the numerator collapses to Ax0+By0+Cz0+D.
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²). (12.6)Формула (12.6) отличается от (10.10) ровно тем же способом, каким общее уравнение плоскости (12.2) отличается от общего уравнения прямой (10.2): добавлением слагаемых с C и z в числитель и под корень. Это не новый вывод, а тот же самый вывод, проведённый на одно измерение выше — паттерн, повторяющийся во всей Главе IV.Formula (12.6) differs from (10.10) in exactly the same way the general equation of a plane (12.2) differs from the general equation of a line (10.2): by adding terms with C and z to the numerator and under the root. This isn't a new derivation but the same derivation carried out one dimension up — a pattern that repeats throughout Chapter IV.
Найти расстояние от точки M0(1;2;-2) до плоскости 2x - y + 2z + 3 = 0.Find the distance from the point M0(1;2;-2) to the plane 2x - y + 2z + 3 = 0.
Шаг 1 — выписать коэффициенты. A=2, B=-1, C=2, D=3.Step 1 — write out the coefficients. A=2, B=-1, C=2, D=3.
Шаг 2 — подставить координаты точки в числитель.Step 2 — substitute the point's coordinates into the numerator.
A·x0+B·y0+C·z0+D = 2·1 + (-1)·2 + 2·(-2) + 3 = 2 - 2 - 4 + 3 = -1.Шаг 3 — вычислить знаменатель.Step 3 — compute the denominator.
√(A²+B²+C²) = √(4+1+4) = √9 = 3.Итак, d = |-1|/3 = 1/3.So, d = |-1|/3 = 1/3.
Две плоскости в пространстве, в отличие от двух прямых на плоскости (10.3), не имеют единственной «точки пересечения» — если они не параллельны, их пересечение есть целая прямая (снова падение размерности на 1 при пересечении, см. 12.1). Условия параллельности/перпендикулярности уже даны в (12.2)-контексте 12.2 через нормали; если плоскости не параллельны, линия их пересечения задаётся системой двух общих уравнений — это прямая система (12.1) для линии в пространстве, применённая к конкретному случаю, когда обе поверхности — плоскости.Two planes in space, unlike two lines in the plane (10.3), don't have a single "intersection point" — if they aren't parallel, their intersection is an entire line (again, a dimension drop of 1 upon intersection, see 12.1). The parallelism/perpendicularity conditions are already given via normals in the 12.2 context; if the planes aren't parallel, their line of intersection is given by a system of the two general equations — precisely the two-equation system for a curve in space from 12.1, applied to the specific case where both surfaces are planes.
A1x+B1y+C1z+D1 = 0,
A2x+B2y+C2z+D2 = 0.Направляющий вектор этой линии пересечения перпендикулярен обеим нормалям n1 и n2 одновременно — а вектор, перпендикулярный сразу двум данным векторам, это в точности их векторное произведение (7.1): s = n1 × n2. Этот приём — прямая подготовка к 12.4/12.5, где направляющий вектор прямой в пространстве становится центральным объектом.The direction vector of this line of intersection is perpendicular to both normals n1 and n2 at once — and a vector perpendicular to two given vectors simultaneously is exactly their cross product (7.1): s = n1 × n2. This technique is direct preparation for 12.4/12.5, where the direction vector of a line in space becomes the central object.
Формула (12.6) даёт расстояние по перпендикуляру к плоскости, а не разность какой-то одной координаты. Частая ошибка — попытаться найти расстояние, глядя только на одну из x, y, z (например, «плоскость почти горизонтальна, значит расстояние ≈ разность z») — это верно лишь в предельном случае, когда нормаль плоскости почти сонаправлена с осью, и не работает в общем случае без прямого применения (12.6).Formula (12.6) gives the distance along the perpendicular to the plane, not the difference of some single coordinate. A common mistake is trying to find the distance by looking only at one of x, y, z (say, "the plane is nearly horizontal, so the distance ≈ the difference in z") — this holds only in the limiting case where the plane's normal is nearly aligned with that axis, and doesn't work in general without directly applying (12.6).
В отличие от прямых на плоскости, для которых «не параллельны» автоматически означает «пересекаются в точке», для двух плоскостей в пространстве это тоже верно (не параллельны ⇒ пересекаются по прямой), но начинающие иногда ошибочно ищут особый случай «скрещивающихся плоскостей» по аналогии со скрещивающимися прямыми (12.5) — такого случая для двух плоскостей не существует: любые две неsовпадающие непараллельные плоскости в трёхмерном пространстве обязательно пересекаются по прямой.Unlike lines in the plane, for which "not parallel" automatically means "intersect at a point," for two planes in space this is likewise true (not parallel ⇒ intersect along a line), but beginners sometimes mistakenly look for a special case of "skew planes," by analogy with skew lines (12.5) — no such case exists for two planes: any two non-coincident, non-parallel planes in three-dimensional space necessarily intersect along a line.
источникsource
Уравнение плоскости по точке и нормали, расстояние от точки до плоскости (формула 12.6), взаимное расположение двух плоскостей — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава IV, §12.3 «Плоскость. Основные задачи», с. 96–98. Пример 12.1, сопоставление с 10.3, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The equation of a plane through a point and a normal, the distance from a point to a plane (formula 12.6), the relative position of two planes — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter IV, §12.3 "The Plane. Basic Problems," pp. 96–98. Example 12.1, the comparison with 10.3, and the "Gotchas" section are original additions.