12.4 — Глава IV, §12. Аналитическая геометрия в пространстве12.4 — Chapter IV, §12. Analytic geometry in space
Здесь ровно проявляется разница в размерности, о которой предупреждала 12.1: прямая в пространстве не задаётся одним уравнением, как плоскость (12.2), а требует либо направляющего вектора (то же каноническое уравнение, что и (10.5) на плоскости, только с тремя координатами), либо системы двух общих уравнений — пересечения двух плоскостей.Here the dimensional difference §12.1 warned about shows up exactly: a line in space isn't given by a single equation, the way a plane is (12.2), but requires either a direction vector (the same canonical equation as (10.5) in the plane, just with three coordinates) or a system of two general equations — the intersection of two planes.
Пусть прямая проходит через точку M0(x0;y0;z0) и имеет направляющий вектор s=(m;n;p). Точка M(x;y;z) лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда M0M коллинеарен s — условие коллинеарности (7.2), записанное как пропорция координат:Let a line pass through the point M0(x0;y0;z0) and have direction vector s=(m;n;p). A point M(x;y;z) lies on this line if and only if M0M is collinear with s — the collinearity condition (7.2), written as a proportion of coordinates:
(x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p. (12.7)Это буквально то же самое уравнение (10.5), с одной дополнительной дробью. Введя параметр t, равный общему значению всех трёх отношений, получаем параметрические уравнения прямой — тоже прямое обобщение (10.6):This is literally the same equation as (10.5), with one additional fraction. Introducing a parameter t, equal to the common value of all three ratios, gives the parametric equations of the line — again a direct generalization of (10.6):
x = x0+mt, y = y0+nt, z = z0+pt, t ∈ ℝ. (12.8)Рис. 39. Прямая в пространстве через точку M0 с направляющим вектором sFig. 39. A line in space through the point M0 with direction vector s
Направляющий вектор прямой в пространстве играет ту же роль, что и в 10.2 на плоскости — но с важным отличием: на плоскости направляющий вектор однозначно восстанавливался из нормали поворотом на 90° (s=(-B;A) из n=(A;B)), а в пространстве такого однозначного поворота не существует (вокруг одной оси в пространстве можно повернуть на 90° бесконечным числом способов) — направляющий вектор прямой в пространстве не связан с одной «нормалью», а определяется отдельно, как в 12.3 через n1×n2.A line's direction vector in space plays the same role as it did in 10.2 in the plane — but with an important difference: in the plane, the direction vector was uniquely recovered from the normal by a 90° rotation (s=(-B;A) from n=(A;B)), while in space no such unique rotation exists (there are infinitely many ways to rotate 90° around a single axis in space) — a line's direction vector in space isn't tied to one "normal" but is determined separately, as in 12.3 via n1×n2.
Это применение общего принципа 12.1 (линия в пространстве — пересечение двух поверхностей) к частному, но самому распространённому случаю, когда обе поверхности — плоскости:This is the general principle from 12.1 (a curve in space is the intersection of two surfaces) applied to the special, and most common, case where both surfaces are planes:
A1x+B1y+C1z+D1 = 0,
A2x+B2y+C2z+D2 = 0. (12.9)Как уже отмечалось в 12.3, направляющий вектор такой прямой — векторное произведение нормалей обеих плоскостей: s = n1×n2 = (A1;B1;C1)×(A2;B2;C2). Чтобы перейти от общей формы (12.9) к каноническому уравнению (12.7), нужны ещё координаты хотя бы одной точки прямой — их находят, решая систему (12.9) при одном произвольно зафиксированном значении одной из переменных (тот же метод Гаусса из 4.4, применённый к системе с одной степенью свободы вместо строгого решения).As already noted in 12.3, this line's direction vector is the cross product of both planes' normals: s = n1×n2 = (A1;B1;C1)×(A2;B2;C2). To move from the general form (12.9) to the canonical equation (12.7), the coordinates of at least one point on the line are also needed — found by solving system (12.9) with one of the variables arbitrarily fixed at some value (the same Gauss method from 4.4, applied to a system with one degree of freedom instead of a strict solution).
Обратный переход — от канонического уравнения (12.7) к паре общих уравнений (12.9) — тоже возможен: пропорция из трёх равных дробей эквивалентна трём попарным равенствам, любые два из которых (третье — их следствие) дают искомую пару. Оба представления содержат одну и ту же геометрическую информацию, выбор — вопрос удобства для конкретной задачи (тот же принцип неединственности представления, отмеченный в 12.1).The reverse transition — from the canonical equation (12.7) to a pair of general equations (12.9) — is also possible: a proportion of three equal fractions is equivalent to three pairwise equalities, any two of which (the third follows from them) give the desired pair. Both representations carry the same geometric information; the choice is a matter of convenience for a specific problem (the same non-uniqueness-of-representation principle noted in 12.1).
Если одна из компонент направляющего вектора равна нулю (скажем, p=0, прямая параллельна плоскости Oxy), запись (z-z0)/0 — не деление на ноль в буквальном смысле, а принятое сокращение, означающее «числитель тоже равен нулю», т. е. z=z0 для всех точек прямой (тот же принцип, отмеченный уже для плоской версии этого уравнения в 10.2). Читать такую запись как «уравнение не определено» — ошибка: оно прекрасно определено, просто в форме дополнительного линейного условия, а не пропорции.If one component of the direction vector is zero (say, p=0, the line is parallel to the plane Oxy), the notation (z-z0)/0 isn't literal division by zero but a conventional shorthand meaning "the numerator is also zero," i.e. z=z0 for every point of the line (the same principle already noted for the planar version of this equation in 10.2). Reading such notation as "the equation is undefined" is a mistake: it's perfectly well-defined, just in the form of an additional linear condition rather than a proportion.
Система (12.9) задаёт прямую только если плоскости не параллельны, т. е. их нормали неколлинеарны (12.2) — иначе n1×n2 = 0 (7.2: коллинеарные векторы дают нулевое векторное произведение), направляющего вектора не существует, а сама система либо несовместна (параллельные, но разные плоскости — решений нет), либо избыточна (совпадающие плоскости — решение всё та же плоскость, не прямая). Перед вычислением s=n1×n2 стоит убедиться, что результат не нулевой.System (12.9) defines a line only if the planes aren't parallel, i.e. their normals aren't collinear (12.2) — otherwise n1×n2 = 0 (7.2: collinear vectors give a zero cross product), no direction vector exists, and the system itself is either inconsistent (parallel but distinct planes — no solutions) or redundant (coincident planes — the solution is that same plane, not a line). Before computing s=n1×n2, it's worth confirming the result isn't zero.
источникsource
Каноническое и параметрические уравнения прямой (формулы 12.7–12.8), прямая как пересечение двух плоскостей (12.9) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава IV, §12.4 «Уравнения прямой в пространстве», с. 98–101. Сопоставление с 10.2, связь с 7.2, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The canonical and parametric equations of a line (formulas 12.7–12.8), a line as the intersection of two planes (12.9) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter IV, §12.4 "Equations of a Line in Space," pp. 98–101. The comparison with 10.2, the connection to 7.2, and the "Gotchas" section are original additions.