12.5 — Глава IV, §12. Аналитическая геометрия в пространстве12.5 — Chapter IV, §12. Analytic geometry in space
На плоскости (10.3) любые две непараллельные прямые обязательно пересекаются — третьего не дано. В пространстве это перестаёт быть верным: две прямые могут не пересекаться и не быть параллельными одновременно. Это принципиально новый случай, которого не было ни у одного объекта Главы III, — скрещивающиеся прямые, и именно он делает этот параграф не просто «тем же самым на измерение выше».In the plane (10.3), any two non-parallel lines necessarily intersect — there's no third option. In space, this stops being true: two lines can be neither intersecting nor parallel at the same time. This is a fundamentally new case, absent from every object in Chapter III — skew lines — and it's exactly what keeps this section from being merely "the same thing one dimension up."
Пусть прямая проходит через M1(x1;y1;z1) и M2(x2;y2;z2). Как и в 10.3, направляющим вектором служит сам вектор M1M2, что даёт прямое обобщение (10.9):Let a line pass through M1(x1;y1;z1) and M2(x2;y2;z2). As in 10.3, the vector M1M2 itself serves as the direction vector, giving a direct generalization of (10.9):
(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1). (12.10)Пусть прямые заданы направляющими векторами s1=(m1;n1;p1) и s2=(m2;n2;p2). Угол между прямыми равен углу между направляющими векторами (или его дополнению до π) — вычисляется через косинус угла между векторами (6.3), тем же способом, что и угол между плоскостями в 12.2, только через направляющие векторы, а не нормали:Let the lines be given by direction vectors s1=(m1;n1;p1) and s2=(m2;n2;p2). The angle between the lines equals the angle between the direction vectors (or its supplement to π) — computed via the cosine-of-angle-between-vectors formula (6.3), the same way as the angle between planes in 12.2, just via direction vectors instead of normals:
cos φ = |s1·s2| / (|s1|·|s2|) = |m1m2+n1n2+p1p2| / (√(m1²+n1²+p1²)·√(m2²+n2²+p2²)). (12.11)Параллельность: s1 ∥ s2, т. е. m1/m2 = n1/n2 = p1/p2. Перпендикулярность: s1 · s2 = 0, т. е. m1m2+n1n2+p1p2 = 0.Parallelism: s1 ∥ s2, i.e. m1/m2 = n1/n2 = p1/p2. Perpendicularity: s1 · s2 = 0, i.e. m1m2+n1n2+p1p2 = 0.
Обратите внимание: формулы (12.11) для угла между прямыми и (12.5) для угла между плоскостями структурно идентичны — обе сводятся к косинусу угла между векторами (6.3), просто в одном случае это направляющие векторы, в другом — нормали. Прямая связь двух этих формул с одной и той же формулой 6.3 — иллюстрация того, что вся аналитическая геометрия §12 опирается на конечный набор операций из Главы II, а не порождает новые с нуля для каждого объекта.Notice: formula (12.11) for the angle between lines and (12.5) for the angle between planes are structurally identical — both reduce to the cosine-of-angle-between-vectors formula (6.3), just with direction vectors in one case and normals in the other. This direct link of both formulas back to the same 6.3 illustrates that all of §12's analytic geometry rests on a finite set of operations from Chapter II, rather than inventing new ones from scratch for each object.
Пусть прямая ℓ1 проходит через M1(x1;y1;z1) с направляющим s1, а прямая ℓ2 — через M2(x2;y2;z2) с направляющим s2. Три возможных случая: (1) прямые параллельны (s1 ∥ s2); (2) прямые пересекаются в одной точке; (3) прямые не параллельны и не пересекаются — скрещивающиеся. Ключевой геометрический факт: прямые пересекаются или параллельны тогда и только тогда, когда векторы M1M2, s1, s2 компланарны (лежат в одной плоскости) — а условие компланарности (8.2) уже знакомо:Let line ℓ1 pass through M1(x1;y1;z1) with direction s1, and line ℓ2 through M2(x2;y2;z2) with direction s2. Three possible cases: (1) the lines are parallel (s1 ∥ s2); (2) the lines intersect at a single point; (3) the lines are neither parallel nor intersecting — skew. The key geometric fact: the lines intersect or are parallel if and only if the vectors M1M2, s1, s2 are coplanar (lie in a single plane) — and the coplanarity condition (8.2) is already familiar:
| x2-x1 y2-y1 z2-z1 |
| m1 n1 p1 | ≠ 0 ⟺ прямые скрещиваются. (12.12)
| m2 n2 p2 |Это прямое применение смешанного произведения из 8.2 к принципиально новой задаче: там равенство нулю означало «объём параллелепипеда равен нулю» (три вектора лежат в одной плоскости), здесь то же равенство нулю означает «прямые лежат в одной плоскости», т. е. пересекаются или параллельны, а неравенство нулю — что они скрещиваются. Скрещивающиеся прямые — geометрический объект, которого не могло существовать на плоскости (там любые две прямые либо пересекаются, либо параллельны — третьего измерения для «расхождения мимо друг друга» просто нет), и определитель (12.12) — единственный алгебраический признак этого нового явления.This is a direct application of the scalar triple product from 8.2 to a fundamentally new problem: there, a zero result meant "the parallelepiped's volume is zero" (three vectors lie in one plane); here, that same zero result means "the lines lie in one plane," i.e. intersect or are parallel, while a nonzero result means they're skew. Skew lines are a geometric object that couldn't exist in the plane (there, any two lines either intersect or are parallel — there's simply no third dimension for "passing each other by"), and determinant (12.12) is the sole algebraic marker of this new phenomenon.
Выяснить, скрещиваются ли прямые: ℓ1 через M1(1;0;0) с s1=(1;1;0), и ℓ2 через M2(0;1;1) с s2=(0;1;1).Determine whether the lines are skew: ℓ1 through M1(1;0;0) with s1=(1;1;0), and ℓ2 through M2(0;1;1) with s2=(0;1;1).
Шаг 1 — вектор M1M2.Step 1 — the vector M1M2.
M1M2 = (0-1; 1-0; 1-0) = (-1; 1; 1).Шаг 2 — определитель (12.12).Step 2 — determinant (12.12).
| -1 1 1 |
| 1 1 0 |
| 0 1 1 |Раскрываем по первой строке:Expanding along the first row:
= -1·(1·1 - 0·1) - 1·(1·1 - 0·0) + 1·(1·1 - 1·0)
= -1·(1) - 1·(1) + 1·(1)
= -1 - 1 + 1 = -1.Итак, определитель равен -1 ≠ 0, значит прямые скрещиваются.So, the determinant equals -1 ≠ 0, so the lines are skew.
Критерий (12.12) отвечает только на вопрос «скрещиваются ли прямые», не различая внутри случая «нет» — пересекаются они в точке или параллельны. Чтобы различить эти два случая, нужна отдельная проверка: сравнить s1 и s2 на коллинеарность (7.2) — если коллинеарны, прямые параллельны (или совпадают); если нет, а определитель всё равно ноль, прямые пересекаются в единственной точке.Criterion (12.12) only answers "are the lines skew," without distinguishing, within the "no" case, whether they intersect at a point or are parallel. Telling these two cases apart needs a separate check: compare s1 and s2 for collinearity (7.2) — if collinear, the lines are parallel (or coincide); if not, and the determinant is still zero, the lines intersect at a single point.
Формула (12.11) для угла между прямыми не требует, чтобы прямые пересекались, — она работает одинаково для пересекающихся и для скрещивающихся прямых, поскольку зависит только от направляющих векторов, а не от точек. Начинающие иногда ошибочно считают, что «угол» между скрещивающимися прямыми не имеет смысла, раз они не пересекаются в буквальной точке, — на самом деле имеется в виду угол между направлениями, что вполне корректно определено независимо от взаимного расположения самих прямых.Formula (12.11) for the angle between lines doesn't require the lines to intersect — it works the same way for both intersecting and skew lines, since it depends only on the direction vectors, not on the points. Beginners sometimes mistakenly think "the angle" between skew lines is meaningless since they don't literally meet at a point — what's actually meant is the angle between their directions, which is perfectly well-defined regardless of the lines' relative position.
источникsource
Уравнение прямой по двум точкам, угол между прямыми (формулы 12.10–12.11), скрещивающиеся прямые (12.12) — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава IV, §12.5 «Прямая линия в пространстве. Основные задачи», с. 101–103. Пример 12.2, сопоставление с 6.3/8.2, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The equation of a line through two points, the angle between lines (formulas 12.10–12.11), skew lines (12.12) — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter IV, §12.5 "A Straight Line in Space. Basic Problems," pp. 101–103. Example 12.2, the comparison with 6.3/8.2, and the "Gotchas" section are original additions.