12.6 — Глава IV, §12. Аналитическая геометрия в пространстве12.6 — Chapter IV, §12. Analytic geometry in space
Последняя пара объектов первого порядка, чьё взаимное расположение нужно разобрать: прямая (направляющий вектор s) и плоскость (нормаль n). В отличие от угла между двумя прямыми (12.5) или двумя плоскостями (12.2), где сравнивались однородные объекты, здесь сравниваются разнородные — направление и перпендикуляр к направлению, — и именно поэтому формула угла выглядит иначе, через синус, а не косинус.The last pair of first-order objects whose relative position needs working out: a line (direction vector s) and a plane (normal n). Unlike the angle between two lines (12.5) or two planes (12.2), where like objects were compared, here unlike objects are compared — a direction and a perpendicular to a direction — and that's exactly why the angle formula looks different, using sine rather than cosine.
Углом между прямой и плоскостью называют угол ψ между прямой и её проекцией на плоскость (а не угол между прямой и нормалью — это два разных, дополнительных до π/2 угла). Пусть прямая имеет направляющий вектор s=(m;n;p), плоскость — нормаль N=(A;B;C). Угол между s и N — это угол (π/2 - ψ), откуда, используя sin ψ = cos(π/2-ψ), получаем:The angle between a line and a plane is the angle ψ between the line and its projection onto the plane (not the angle between the line and the normal — those are two different angles, complementary to π/2). Let the line have direction vector s=(m;n;p), and the plane normal N=(A;B;C). The angle between s and N is (π/2 - ψ), so using sin ψ = cos(π/2-ψ), we get:
Рис. 40. Угол ψ между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией, дополнительный к углу с нормалью NFig. 40. The angle ψ between a line and a plane — the angle between the line and its projection, complementary to the angle with the normal N
sin ψ = |s · N| / (|s|·|N|) = |mA+nB+pC| / (√(m²+n²+p²)·√(A²+B²+C²)). (12.13)Это единственная формула угла в §12, использующая синус, а не косинус (6.3, 12.5, 12.11 — все через косинус). Причина не в произволе, а в том, что здесь сравниваются направление и нормаль к направлению — величины, «сдвинутые» друг относительно друга на π/2 уже по построению задачи, а не выбору осей. Формула (12.13) — не новая идея, а формула (6.3) с автоматической поправкой на этот сдвиг.This is the only angle formula in §12 using sine rather than cosine (6.3, 12.5, 12.11 all use cosine). The reason isn't arbitrary — it's that here a direction and a normal to a direction are compared, quantities "shifted" from each other by π/2 already by the nature of the problem, not by any choice of axes. Formula (12.13) isn't a new idea but formula (6.3) with the automatic correction for this shift.
Здесь снова проявляется та же инверсия логики, что уже отмечалась в 12.2 между условиями для прямых и для плоскостей: направление и нормаль связаны обратно тому, как связаны две однородные величины.Here again the same logic inversion already noted in 12.2 between the conditions for lines and for planes shows up: a direction and a normal relate inversely to how two like quantities relate.
s ⊥ N, т. е. mA+nB+pC = 0 — направляющий вектор прямой перпендикулярен нормали плоскости (прямая «лежит вдоль» плоскости, ни в какую сторону от неё не отклоняясь).s ⊥ N, i.e. mA+nB+pC = 0 — the line's direction vector is perpendicular to the plane's normal (the line "runs along" the plane, deviating from it in no direction).
s ∥ N, т. е. m/A = n/B = p/C — направляющий вектор прямой коллинеарен нормали плоскости.s ∥ N, i.e. m/A = n/B = p/C — the line's direction vector is collinear with the plane's normal.
Сопоставьте это с 10.2/12.2: там для двух однородных объектов (прямая-прямая, плоскость-плоскость) коллинеарность нормалей/направляющих означала параллельность самих объектов, а ортогональность — перпендикулярность. Здесь, для разнородной пары (направление-нормаль), логика зеркальна: коллинеарность s и N означает перпендикулярность прямой и плоскости, а ортогональность s и N — их параллельность. Смешать эти два случая — самая частая концептуальная ошибка в этом параграфе (см. Грабли).Compare this to 10.2/12.2: there, for two like objects (line-line, plane-plane), collinear normals/direction vectors meant the objects themselves were parallel, and orthogonality meant perpendicularity. Here, for an unlike pair (direction-normal), the logic mirrors itself: s and N being collinear means the line and plane are perpendicular, and s and N being orthogonal means they're parallel. Mixing up these two cases is the most common conceptual error in this section (see Gotchas).
Если прямая не параллельна плоскости, она пересекает её в единственной точке. Практический способ найти эту точку — подставить параметрические уравнения прямой (12.8) в общее уравнение плоскости (12.2) и решить получившееся линейное уравнение относительно параметра t:If a line isn't parallel to a plane, it intersects it at a single point. The practical way to find this point: substitute the line's parametric equations (12.8) into the plane's general equation (12.2) and solve the resulting linear equation for the parameter t:
A(x0+mt) + B(y0+nt) + C(z0+pt) + D = 0.Это уравнение линейно по t (поскольку x,y,z в параметрической форме линейны по t), значит имеет ровно одно решение, если коэффициент при t (т. е. Am+Bn+Cp = s·N) не равен нулю — а это ровно условие «прямая не параллельна плоскости» из предыдущего раздела. Найденное значение t подставляется обратно в (12.8), давая координаты точки пересечения.This equation is linear in t (since x,y,z in parametric form are linear in t), so it has exactly one solution provided the coefficient of t (i.e. Am+Bn+Cp = s·N) is nonzero — exactly the "line not parallel to plane" condition from the previous section. The value of t found is substituted back into (12.8), giving the intersection point's coordinates.
Метод «подставить параметризацию одного объекта в уравнение другого» — общий приём, уже использованный неявно в 10.3 при поиске точки пересечения прямых через систему уравнений; здесь он явно проведён через параметр, а не через формулы Крамера, потому что параметрическая форма прямой (12.8) делает подстановку особенно прямолинейной.The method "substitute one object's parametrization into the other's equation" is a general technique already used implicitly in 10.3 when finding a line intersection via a system of equations; here it's carried out explicitly through the parameter rather than Cramer's rule, because the line's parametric form (12.8) makes the substitution especially straightforward.
Самая частая ошибка параграфа: по аналогии с 10.2/12.2 (где коллинеарные нормали/направляющие означали параллельные объекты) машинально считать, что s ∥ N означает «прямая параллельна плоскости». На самом деле верно обратное: если направляющий вектор прямой сонаправлен с нормалью плоскости, прямая идёт точно вдоль этой нормали — то есть перпендикулярно самой плоскости. См. раздел выше — логика здесь зеркальна именно потому, что сравниваются разнородные объекты (направление и перпендикуляр к направлению), а не два направления или две нормали.The most common mistake in this section: by analogy with 10.2/12.2 (where collinear normals/direction vectors meant parallel objects), mechanically assuming s ∥ N means "the line is parallel to the plane." The opposite is actually true: if the line's direction vector points the same way as the plane's normal, the line runs exactly along that normal — that is, perpendicular to the plane itself. See the section above — the logic mirrors itself here precisely because unlike objects are being compared (a direction and a perpendicular to a direction), not two directions or two normals.
Если s ⊥ N (прямая параллельна плоскости по условию из раздела выше) И точка M0 прямой лежит в самой плоскости, то уравнение из раздела «Точка пересечения» вырождается в тождество 0=0 относительно t — это означает не «одну точку пересечения», а что вся прямая целиком лежит в плоскости (бесконечно много общих точек). Перед применением формулы для t стоит убедиться, что коэффициент при t действительно ненулевой, а не просто получить t формальной подстановкой в уже вырожденное уравнение.If s ⊥ N (the line is parallel to the plane per the condition from the section above) AND the point M0 of the line lies in the plane itself, the equation from the "Intersection point" section degenerates into the identity 0=0 in t — this doesn't mean "one intersection point," it means the entire line lies in the plane (infinitely many common points). Before applying the formula for t, it's worth confirming the coefficient of t is actually nonzero, rather than mechanically extracting t from an already-degenerate equation.
источникsource
Угол между прямой и плоскостью (формула 12.13), условия параллельности и перпендикулярности, точка пересечения прямой и плоскости — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава IV, §12.6 «Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи», с. 103–104. Сопоставление логики с 10.2/12.2, раздел «Грабли» — авторское дополнение.The angle between a line and a plane (formula 12.13), the conditions for parallelism and perpendicularity, the intersection point of a line and a plane — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter IV, §12.6 "A Line and a Plane in Space. Basic Problems," pp. 103–104. The logic comparison with 10.2/12.2 and the "Gotchas" section are original additions.