1.1 — Глава I, §1. Матрицы1.1 — Chapter I, §1. Matrices
Матрица — это не «таблица чисел вообще», а способ упаковать линейное отображение или систему уравнений в объект, с которым можно оперировать целиком. Разбиение матриц на виды (диагональная, единичная, треугольная, нулевая) — это не таксономия ради таксономии: каждый вид фиксирует структуру, которая либо резко упрощает вычисления (диагональная — умножение поэлементно), либо служит нейтральным элементом операции (единичная и нулевая — как 1 и 0 в арифметике), либо описывает конкретный практический процесс (треугольная — прямой/обратный ход метода Гаусса).A matrix isn't "a table of numbers in general" — it's a way to package a linear map or a system of equations into a single object you can operate on as a whole. The taxonomy of matrix kinds (diagonal, identity, triangular, zero) isn't classification for its own sake: each kind locks in a structure that either drastically simplifies computation (diagonal — multiply element-wise), or serves as the neutral element of an operation (identity and zero — like 1 and 0 in arithmetic), or describes a specific practical process (triangular — the forward/back substitution steps of Gaussian elimination).
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в видеA matrix is a rectangular table of numbers containing m rows of equal length (or n columns of equal length). A matrix is written as
A = | a11 a12 ... a1n |
| a21 a22 ... a2n |
| ... ... ... ... |
| am1 am2 ... amn |или, сокращённо, A = (a_ij), где i = 1, m — номер строки, j = 1, n — номер столбца. Матрицу называют матрицей размера m × n (пишут A_(m×n)). Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ — она существует и у прямоугольных матриц, но содержательна прежде всего для квадратных.or, in short, A = (a_ij), where i = 1, m is the row number, j = 1, n is the column number. It's called a matrix of size m × n (written A_(m×n)). The elements lying on the diagonal running from the upper-left corner form the main diagonal — it exists for rectangular matrices too, but is mainly meaningful for square ones.
Ключевая идея, которую стоит держать в голове с самого начала: матрица — это удобная запись линейного отображения между векторными пространствами (A: ℝⁿ → ℝᵐ). Умножение матрицы на вектор Ax — это применение этого отображения к конкретной точке; вся дальнейшая линейная алгебра (ранг, определитель, обратная матрица) — это разные способы спросить «что это отображение делает с пространством» (сохраняет ли размерность, обратимо ли, во сколько раз меняет объём).The key idea worth holding onto from the start: a matrix is a convenient notation for a linear map between vector spaces (A: ℝⁿ → ℝᵐ). Multiplying a matrix by a vector, Ax, is applying that map to a specific point; all of the linear algebra that follows (rank, determinant, inverse) is really different ways of asking "what does this map do to the space" (does it preserve dimension, is it invertible, by what factor does it scale volume).
если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. A = B, если a_ij = b_ij для всех i, j. В частности, у равных матриц обязаны совпадать и размеры — сравнение 2×3 с 3×2 даже не определено, а не «ложно».if all corresponding elements of these matrices are equal, i.e. A = B if a_ij = b_ij for all i, j. In particular, equal matrices must also match in size — comparing a 2×3 against a 3×2 isn't "false," it's simply undefined.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной (матрица n-го порядка). Именно для квадратных матриц определены определитель и обратная матрица — прямоугольное отображение ℝⁿ → ℝᵐ при n ≠ m в принципе не может быть обратимым «один в один», потому что меняет размерность пространства.A matrix in which the number of rows equals the number of columns is called square (a matrix of order n). It's precisely for square matrices that the determinant and inverse are defined — a rectangular map ℝⁿ → ℝᵐ with n ≠ m simply cannot be invertible one-to-one, because it changes the dimension of the space.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Геометрически — это отображение, которое растягивает/сжимает каждую координатную ось независимо и не поворачивает и не смешивает оси между собой. Вычислительно это золото: умножение диагональной матрицы на вектор — это n независимых умножений, а не n². По этой причине диагонализация матрицы (когда это возможно — собственные векторы образуют базис) — стандартный трюк, чтобы свести «дорогое» матричное умножение к «дешёвому» поэлементному, например при возведении матрицы в степень.A square matrix in which all elements except those on the main diagonal are zero is called diagonal. Geometrically, this is a map that stretches/shrinks each coordinate axis independently, without rotating or mixing the axes together. Computationally this is gold: multiplying a diagonal matrix by a vector is n independent multiplications, not n². That's why diagonalization (when possible — the eigenvectors form a basis) is a standard trick to reduce "expensive" matrix multiplication to "cheap" element-wise multiplication, e.g. when raising a matrix to a power.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной (E). Геометрически — отображение, которое ничего не делает: каждый вектор переходит сам в себя, Ex = x. В матричном исчислении E играет роль числа 1: A · E = E · A = A для любой квадратной A того же размера.A diagonal matrix in which every element of the main diagonal equals one is called the identity matrix (E). Geometrically — a map that does nothing: every vector maps to itself, Ex = x. In matrix calculus, E plays the role of the number 1: A · E = E · A = A for any square A of the same size.
E_(3x3) = | 1 0 0 | E_(nxn) = | 1 0 |
| 0 1 0 | | 1 |
| 0 0 1 | | .... |
| 0 1 |Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Это не абстрактный частный случай: приведение произвольной матрицы к треугольному виду (LU-разложение) — стандартный первый шаг решения систем линейных уравнений и вычисления определителя на практике, потому что для треугольной матрицы det A — это просто произведение элементов главной диагонали, а система решается за один линейный проход (обратная подстановка) вместо полного метода Крамера.A square matrix is called triangular if all elements on one side of the main diagonal are zero. This isn't an abstract edge case: reducing an arbitrary matrix to triangular form (LU decomposition) is the standard first step for solving linear systems and computing determinants in practice, because for a triangular matrix det A is simply the product of the main-diagonal entries, and the system solves in one linear pass (back-substitution) instead of full Cramer's rule.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой (O): A + O = A, A - A = O. Вместе O и E играют роль 0 и 1 в арифметике матриц — большая часть свойств матричных операций (см. 1.2) буквально копирует школьную алгебру чисел, за одним важным исключением: умножение матриц не коммутативно.A matrix all of whose elements are zero is called the zero matrix (O): A + O = A, A - A = O. Together, O and E play the role of 0 and 1 in matrix arithmetic — most properties of matrix operations (see 1.2) literally mirror school algebra, with one crucial exception: matrix multiplication is not commutative.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-столбец или вектор-строка). Матрица размера 1 × 1 отождествляется с числом — (5)_(1×1) есть просто 5. Это не формальность: показывает, что число, вектор и матрица — это один и тот же объект (тензор), просто разной «размерности упаковки»; именно поэтому в NumPy/PyTorch скаляр, вектор и матрица — частные случаи одного типа ndarray/Tensor.A matrix containing a single column or a single row is called a vector (a column vector or a row vector). A matrix of size 1 × 1 is identified with a number — (5)_(1×1) is simply 5. That's not a technicality: it shows that a number, a vector, and a matrix are the same underlying object (a tensor), just with a different "packaging dimensionality" — which is exactly why in NumPy/PyTorch a scalar, a vector, and a matrix are special cases of a single ndarray/Tensor type.
Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной (A^T), причём (A^T)^T = A. Так, если A = (1 2; 3 4), то A^T = (1 3; 2 4).A matrix obtained from a given one by replacing each of its rows with a column of the same number is called the transpose (A^T), with (A^T)^T = A. Thus, if A = (1 2; 3 4), then A^T = (1 3; 2 4).
Всякая диагональная матрица симметрична (A = A^T), но не наоборот — симметричная матрица может иметь произвольные ненулевые внедиагональные элементы, лишь бы они были зеркальны относительно главной диагонали. Путают их часто именно из-за того, что оба свойства «про диагональ», хотя диагональность — намного более сильное условие.Every diagonal matrix is symmetric (A = A^T), but not the other way around — a symmetric matrix can have arbitrary nonzero off-diagonal entries, as long as they mirror across the main diagonal. The two get conflated often precisely because both properties are "about the diagonal," even though being diagonal is a far stronger condition.
A^T всегда существует для любой матрицы и вычисляется тривиально (просто переставить индексы), тогда как A^(-1) определена только для квадратных невырожденных матриц и требует реального вычисления (см. 3.2). Совпадают они лишь в частном случае — для ортогональных матриц, где A^T = A^(-1); это совпадение и делает ортогональные матрицы (повороты, отражения) настолько удобными в вычислительной геометрии и графике.A^T always exists for any matrix and is computed trivially (just swap the indices), whereas A^(-1) is defined only for square, non-singular matrices and requires actual computation (see 3.2). They coincide only in the special case of orthogonal matrices, where A^T = A^(-1) — that coincidence is exactly what makes orthogonal matrices (rotations, reflections) so convenient in computational geometry and graphics.
источникsource
Определения и Пример 1.1 — по изданию: Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 608 с. — Глава I, §1.1 «Основные понятия», с. 16–17. Интуиция, связь с вычислениями и раздел «Грабли» — авторское дополнение.Definitions and Example 1.1 — from: Pismenny D. T. Lecture Notes on Higher Mathematics: Complete Course. — 9th ed. — Moscow: Iris-press, 2009. — 608 p. — Chapter I, §1.1 "Basic Concepts," pp. 16–17. The intuition, ties to computation, and the "Gotchas" section are original additions.