Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о нихEquivalent infinitely small functions and the basic theorems on them

Стандартные эквивалентности (x → 0)Standard equivalences (x → 0)

sin x ~ x (17.5, первый замечательный предел)
tg x ~ x
arcsin x ~ x
arctg x ~ x
1-cos x ~ x²/2
eˣ-1 ~ x
ln(1+x) ~ x
(1+x)ᵏ-1 ~ kx (k — любая постоянная) \sin x ~ x (17.5, the first remarkable limit)
\tan x ~ x
\arcsin x ~ x
\arctan x ~ x
1-\cos x ~ x²/2
eˣ-1 ~ x
\ln(1+x) ~ x
(1+x)ᵏ-1 ~ kx (k — any constant)

Теорема о замене эквивалентных бесконечно малых в пределеThe theorem on substituting equivalent infinitesimals inside a limit

Если α~α₁ и β~β₁ при x→x₀, то lim_{x→x₀} α/β = lim_{x→x₀} α₁/β₁ (если один из пределов существует, существует и другой, и они равны). Более узко, но чаще применяется: если α~α₁, то в пределе вида lim (α·f(x)) или lim (f(x)/α) множитель α можно заменить на α₁, не меняя значения предела.If α~α₁ and β~β₁ as x→x₀, then lim_{x→x₀} α/β = lim_{x→x₀} α₁/β₁ (if one of the limits exists, so does the other, and they're equal). More narrowly, but more often applied: if α~α₁, then in a limit of the form lim (α·f(x)) or lim (f(x)/α), the factor α can be replaced by α₁ without changing the limit's value.

Объяснение на пальцах: обменный курс для бесконечно малыхPlain-language explanation: an exchange rate for infinitesimals

Эквивалентность α~β — это, по сути, «обменный курс 1:1» вблизи нуля: там, где раньше пришлось бы возиться со сложной функцией sin(3x), эквивалентность позволяет обменять её на простую 3x без потери точности в пределе. Это не значит, что sin(3x) и 3x равны — они равны только асимптотически, «на бесконечно малом масштабе» около нуля, точно как в 17.5 обсуждалось на пальцах: чем меньше угол, тем менее отличима дуга от прямой. Замена работает как обмен валют по актуальному курсу: курс верен ровно в пределе, а не при произвольном (не бесконечно малом) значении аргумента.The equivalence α~β is, in essence, a "1:1 exchange rate" near zero: where previously you'd have to wrestle with the complicated function \sin(3x), equivalence lets you exchange it for the simple 3x without losing accuracy in the limit. This doesn't mean \sin(3x) and 3x are equal — they're only equal asymptotically, "on an infinitesimal scale" near zero, exactly as discussed in plain language in 17.5: the smaller the angle, the less distinguishable the arc is from a straight line. The substitution works like a currency exchange at the going rate: the rate is exact only in the limit, not at an arbitrary (not infinitesimally small) value of the argument.

Пример из жизни. Представьте, что вы обмениваете валюту в обменнике, где курс «почти 1 к 1» — скажем, 1 доллар = 1.001 евро. Для мелких сумм (одного доллара, десяти долларов) разница в 0.1% абсолютно несущественна — можно смело считать курс ровно 1:1, ошибка будет ничтожной. Но для очень крупной суммы (миллиона долларов) та же 0.1% уже даёт разницу в тысячу евро — округление «1:1» становится неприемлемым. Эквивалентные бесконечно малые работают именно на «мелких суммах» — вблизи нуля, где аргумент исчезающе мал, — и там приближение «курс 1:1» становится не просто допустимым, а точным в пределе. Чем дальше уводить аргумент от нуля, тем менее оправдана такая замена — совсем как обменивать миллион долларов по курсу, годному только для мелких сумм.A real-life example. Imagine exchanging currency at a bureau where the rate is "almost 1 to 1" — say, 1 dollar = 1.001 euros. For small amounts (one dollar, ten dollars), the 0.1% difference is utterly negligible — you can safely treat the rate as exactly 1:1, the error will be tiny. But for a very large amount (a million dollars), that same 0.1% already amounts to a thousand-euro difference — rounding to "1:1" becomes unacceptable. Equivalent infinitesimals work exactly on "small amounts" — near zero, where the argument is vanishingly small — and there the "1:1 rate" approximation becomes not just acceptable but exact in the limit. The further the argument is pushed away from zero, the less justified such a substitution becomes — just like exchanging a million dollars at a rate meant only for small amounts.